t=(2次関数)とおいて4次関数の最大最小を求める方法
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上野竜生です。t=(何か)とおけば2次関数の問題になるタイプの応用問題の解き方を練習しましょう。t=(何か)とおけばその「(何か)」の取りうる範囲を求めることが必要です。 例題 xが実数全体を動くとき(x2+2x+3)2 […]
Author: 上野竜生
今週の問題 問30 答え
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上野竜生です。問30の答えを発表します。 問30 ★ m,nを整数とする。\( \log_2{(2^m+2^n)} \)が整数ならばm=nであることを証明せよ。 答え m>nまたはm<nならば\ […]
1の3乗根ωに関する問題
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上野竜生です。「1の3乗根のうち，1でないものの一つをωとする。このとき次の値を求めよ。」というタイプの解き方を紹介します。 ωの性質 ω3=1 かつ ω≠1（定義より明らか） 1を移項して因数分解するとω3-1=(ω- […]
円の極と極線(円外の点から引いた2つの接線の接点を通る直線)
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上野竜生です。円の極と極線に関する面白い性質を紹介します。考え方も独特なので是非目を通すことをオススメします。 ＜復習＞円の接線の公式 円x2+y2=r2の円周上の点(p,q)からひいた接線の方程式はpx+qy=r2 今 […]
方程式が共役な解とセットで現れることの証明
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上野竜生です。実数係数多項式がx=αを解に持つならばαと共役複素数も解にもつことは有名な事実だと思います。これを証明します。 実数係数多項式f(x)=0が\( x=\alpha\)を解にもつならば共役複素数\( x=\o […]
円の接線に関する定理・公式（数Ａ範囲）
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上野竜生です。円の接線に関する定理や公式を紹介します。 円の接点までの長さに関する定理 図のように点Pから円Oには2つの接線がひける。 POINT・∠PAO=∠PBO=90° ・PA=PB 1つ目は「接線」であるというこ […]
今週の問題 問29 答え
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上野竜生です。問29の答えを発表します。 問29 ★ A地点からB地点に移動するのに図のような道を通って移動することを考える。 図のp,q,rと書かれたところはそれぞれ確率p,q,rで通ることが可能な道であり，2つにわか […]
多項式の微分積分 基本計算と応用
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上野竜生です。文系で最後のほうに習う微分積分（多項式）ですが、意外と簡単です。しかし計算を面倒臭がって使ってはいけない公式を使ってしまう人もいます。そんな落とし穴を紹介していきます。 基本の公式 ・\( f […]
【超重要】接線の公式
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上野竜生です。今回は入試で頻出の接線の公式を解説していきたいと思います。 おさらい 点(a,b)を通り傾きmの直線の式は何か？ 原点を通り、傾きがmの直線の式はy=mxですね。 これをx軸方向にa、y軸方向 […]
eが無理数であることの証明
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上野竜生です。eが無理数であることの証明をしてみます。難関大入試ではたまに見ます。 \(\displaystyle a_n= \int_0^1 x^n e^{1-x}dx \)とおく。 \(\displaystyle \ […]
指数関数×三角関数の不定積分3通りの計算方法
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上野竜生です。∫eaxsinbxdxを計算するときどうしてますか？部分積分で解くのが正攻法ですがいろいろな解き方があります。ここでは部分積分も含めて3パターンのやり方で計算してみます。 今回計算する積分 不 […]
今週の問題 問28 答え
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上野竜生です。問28の答えを発表します。 問28 ★ 自然数から文字列への関数f(n)を次のように定める。 f(1)=トマト f(n+1)=f(n) + とトマト たとえばf(2)=トマトとトマト, f(3)=トマトとト […]
2つの関数の共通接線の求め方
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上野竜生です。共通接線の求め方を2パターン紹介します。 復習 2直線y=mx+nとy=m'x+n'が一致するための必要十分条件は m=m'かつn=n'である。 よく考えれば明らかだとは思いますがこのことは重要です 接点が […]
x,yが円や楕円上を動くときf(x,y)の最大最小問題
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上野竜生です。2変数関数の最大・最小問題の中で特に(x,y)が円や楕円上を動くときは三角関数の利用が有効です。実際にどう解くのか見てみましょう。初見では難しいですが共通テストでも頻出な良問です。 基本アイデア x2+y2 […]
軌跡の求め方
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上野竜生です。軌跡を答えるといわれたときどうすればいいか、忘れてしまうことがよくあります。きちんと図示することをイメージして解くようにしましょう。 基本はアポロニウスの円 2つの点からの距離がa:b（≠1:1)になる点の […]