数IIの図形分野です。主に座標平面で扱うのでひらめきはいりませんが計算量が多いです。軌跡と領域もこの分野です。
反転(半直線上にOP・OQ=1となるQをとるときのQの軌跡)
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上野竜生です。反転幾何学というものがあり，その美しい性質は高校数学でも少し楽しめます。入試問題でもたまに見かけるので紹介します。 反転とは 高校では習いません（大学でも通常習いません）が，原点Oと点Pを結ぶ半直線上にOP […]
数II 図形と方程式
頻出！(x+y,xy)の動く領域
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上野竜生です。今回は有名問題を紹介します。一見簡単ですが落とし穴があり，入試頻出問題で一般的な参考書でも紹介されている問題です。 実数x,yがx2+y2≦1を満たしながら動くとき、(x+y,xy)の動く領域を図示せよ。 […]
図形が通過する領域の求め方
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上野竜生です。tやaを動かしたとき直線や曲線が通過する領域の図示の仕方を紹介します。 アイデア y=(tを含んだxの式)がある。tを実数全体で動かしたとき通過する領域を求めたい → tについて整理する。つまりtが変数，x […]
垂直二等分線の式・対称な点や直線の求め方
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上野竜生です。対称移動させた点や直線の求め方を紹介します。入試でもよく「～を対称移動させたものをC’とする。」のように序盤で計算させる内容の一つであり，ここで躓くと大問全体を捨てるハメになってしまいます。 今 […]
2つの直線が平行・垂直となる条件
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上野竜生です。2つの直線が平行・垂直となる条件を紹介します。 基本形（y=ax+b）のとき 2つの直線y=ax+bとy=a’x+b’が… 平行⇔ a=a’ 垂直⇔ aa’= […]
3点の座標が与えられたとき、その三角形はどんな三角形か答える問題
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上野竜生です。3点A,B,Cの座標が与えられたときABCはどんな三角形かを当てる問題の解き方を紹介します。ただ滅多に出題されないでしょう・・・。 方針 AB2 , BC2 , CA2を計算する。 等しいものがあれば二等辺 […]
直線が定数kの値に関係なく通る定点の座標
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上野竜生です。数IIの練習問題でkの式で表された直線が定数kの値に関係なく通る点の座標を求めるというのがあります。それを解いてみましょう。 解き方 定数kの値に関係なく通る点 ＝kの恒等式となるようなx,yの値を求める […]
2点間の距離・内分・外分する点の座標の求め方
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上野竜生です。座標平面の基本となる距離・内分・外分の公式を理解しましょう。なおここで1次元～3次元まですべて扱います。 【復習】1次元のとき 点A(x1)とB(x2)の距離は|x1-x2| AとBをm:nに内分する点の座 […]
絶対値が付いた領域
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上野竜生です。絶対値がついた領域の基本的な解き方と知っておいた方がいい内容を紹介します。 パターン１：一般の場合（基本） 例： |x2+y2-5|≦4x の表す領域を図示せよ。 絶対値の基本的な外し方に忠実に解くだけです […]
領域の超基本
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上野竜生です。領域の問題の基本事項を紹介します。 y>f(x)などのタイプ y=f(x)のグラフ(*)をかいた後 y>f(x)・・・(*)の上側 [yが大きい側] y<f(x)・・・(*)の下側 [yが […]
角の2等分線の方程式
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上野竜生です。角の2等分線の方程式を求める練習をしてみましょう。 角の二等分線の求め方 1. tanの加法定理で求める →発想は単純ですが意外と大変かもしれません。 2. 点と直線の距離の公式を使う →この解法を理解して […]
重心の軌跡
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上野竜生です。今回は重心の軌跡に関する問題を１つ解いてみます。慣れればかなり基本的な部類ですが慣れるまで少しややこしいかもしれません。 問題 A(1,2) , B(2,-5)とする。点Pが円(x-6)2+y2=9の円周上 […]
f(x,y)g(x,y)>0の表す領域
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上野竜生です。今回はf(x,y)g(x,y)>0のタイプの領域の図示の方法を紹介します。 基本 f(x,y)g(x,y)>0⇒「f>0かつg>0」または「f<0かつg<0 […]
三角形の面積（座標）
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上野竜生です。座標で表された三角形の面積の求め方とその証明，応用問題を紹介します。 公式 3点O(0,0) , A(a,b), B(c,d)を頂点とする三角形の面積は\( \displaystyle \frac{1}{2 […]