円の方程式と方程式から円の中心と半径を求める方法

上野竜生です。今回は円の方程式を求められるようにします。また，円の方程式っぽいものが与えられたときそれが円なのかどうか，もしも円ならば中心と半径を求められるようにします。

円の方程式

中心がA(a,b)で半径rの円の方程式は
\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \)

[導出]

AとP(x,y)の距離がrになる必要がある。

AとPのx座標の差は|x-a|
AとPのy座標の差は|y-b|
なので三平方の定理より
\( |x-a|^2+|y-b|^2=r^2 \)
絶対値の2乗はただの2乗と同じなので求める式を得る。

式自体が簡単ですし導出も簡単なのでこれは簡単に導出できますね。
次に2乗のところを展開してみましょう。
\( x^2 -2ax + y^2-2by = r^2-a^2-b^2 \)
これも円の方程式になります。なので一般に円の方程式は
\( x^2-Ax + y^2 - By = C \)
の形でかけます。ここからA,B,Cを求める形で導出してもよいでしょう。

例題１

わからない部分のみを文字でおくといいでしょう。(1)は公式そのものです。(2)は中心までわかっているので半径だけ文字でおくといいでしょう。

答え(1)\( (x-1)^2+(y-2)^2=9 \)
(2)中心が(4,5)の円だから半径をrとすると
\((x-4)^2+(y-5)^2=r^2 \)とおける。
これが原点を通るから
\( (0-4)^2+(0-5)^2=r^2 \)
ゆえに\( r^2=41 \)となる。よって求める式は
\( (x-4)^2+(y-5)^2=41 \)
(3)図よりすぐに半径は7だとわかるので

\((x-6)^2+(y-7)^2=49 \)
(4)中心と半径を求める。中心は与えられた2点の中点であり，直径は与えられた2点の距離。半径はその半分である。計算すると中心(1,2)で半径が\(\sqrt{5} \)なので
\( (x-1)^2+(y-2)^2=5\)

円っぽい式から中心・半径を求める

円の式は
\( x^2-Ax + y^2 - By = C \)
の形で書けますが逆にこの形の式は円かと言われるとそうとは限りません。
そこでこの形の式が与えられたときこれが円の式かどうか，円ならば中心と半径を求めてみたいと思います。
まずは平方の和で表すと
\( \displaystyle \left( x-\frac{A}{2} \right)^2 + \left( y-\frac{B}{2} \right)^2 = C+\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4} \)
ここから単純に
中心\( \displaystyle \left( \frac{A}{2},\frac{B}{2} \right) \),半径\(\displaystyle \sqrt{C+\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}} \)の円と言いたいところですが，少し注意が必要です。

それはこの右辺が0より大きいときはこの議論で全く問題ないのですが，右辺が0より小さいときは「円」にはなりません。左辺は2乗＋2乗なので0以上になります。よって右辺が0未満ならこれはそもそも図形を表さないということです。

また右辺が0に等しいときは「円」というよりは「点」\( \displaystyle \left( \frac{A}{2},\frac{B}{2} \right) \)を表すことになります。ここに注意しましょう。

例題２

ここまでは基本中の基本です。センター試験や共通テストでの本試験では図形と方程式が滅多に出なかったのですが最近出題されています。共通テストだけの人も勉強しておきましょう。