○の倍数判定法まとめ
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上野竜生です。○の倍数の問題は本来中学入試レベルですが，大学入試でも場合の数の問題などでたまに出るので紹介します。基本的に証明はほぼワンパターンです。 2・４・８の倍数 2の倍数 下1ケタが2の倍数 4の倍数 下2ケタが […]
著者：上野竜生
パップス・ギュルダンの定理（回転体の体積の裏技）
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上野竜生です。回転体の体積を求める方法の裏技，パップスギュルダンの定理を紹介します。検算に使う程度にし，できる限り記述の試験では使わないようにします。 パップスギュルダンの定理 回転体の体積＝回転させる面積 […]
今週の問題 問23 答え
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上野竜生です。問23の答えを発表します。 問23 ★★ 整数の数列\( a_n, b_n, c_n \)を \( (1+\sqrt[3]{2})^n = a_n + b_n \sqrt[3]{2}+c_n\sqrt[3] […]
方べきの定理
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上野竜生です。方べきの定理の３パターンとその証明をつけて，実際に練習問題を解いてみましょう。 方べきの定理１ 円周上に点A,B,C,Dをとり，ACとBDの交点をEとする。このとき AE・CE=BE・DEが成り立つ。 [証 […]
三角比・三角関数の定義（相互法則や90°-θの関係など）
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上野竜生です。三角比・三角関数の定義は覚えるしかありません。90°ーθなどの関係もまとめました。 三角形の辺の長さに関する定義 図のような直角三角形を書いたときの長さが\( \sin{\theta},\cos{\thet […]
正弦定理(2Rに注意)
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上野竜生です。正弦定理は教科書でよく習う公式で共通テストでも超重要定理となっています。しかしいろいろ間違う人も多いので正しく理解しましょう。 正弦定理 ＜正弦定理＞ 三角形ABCに対して $$ 2R=\frac{AB}{ […]
三角形の内接円の方程式の求め方
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上野竜生です。三角形の内接円の方程式の求め方を紹介します。 三角形の内接円の方程式を求める3つの考え 内接円の性質を利用します。 １） 3つの内角の2等分線の交点が内心である。 […]
整式の展開
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上野竜生です。 整式の展開は高校数学で最初にやってくる分野です。そのため難易度も低いのですがここで行き詰まっている人もいるかと思いますので解説します。 基本公式 (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3 […]
今週の問題 問22 答え
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上野竜生です。問22の答えを発表します。 問22 ★★ いびつな六面体のサイコロがある。 （サイコロには１から６までの数字が書かれているがすべての面が等確率で出るとは限らないし，出る確率0%の面があるかもしれない。もちろ […]
整式の計算
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上野竜生です。高校で最初にやる式の計算の解説をします。ここは簡単なのでサクっといきましょう！ 四則演算 式の足し算引き算は同類項どうし足します。言葉の説明より具体例のほうがわかりやすいです。 例：\( 6x […]
恒等式の解法パターンまとめ
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上野竜生です。恒等式の解法パターンをまとめておきます。 基本的に両辺を展開し，係数を比較すればOKです。 大学に行ったら習いますがこれは「1,x,x2,x3,・・・」が1次独立だからです。 ベクトルの分野でも1次独立なら […]
sinX=sinYなどの方程式の解き方
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上野竜生です。sinX=sinYなどのタイプは単位円をかいて簡単に解くことができます。その解法を紹介します。 sinX=sinY 明らかにX=Yのとき等号成立します。また2π周期なのでY=X+2nπのときも成立します。 […]
乗法定理
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上野竜生です。確率の乗法定理を紹介します。みなさん無意識のうちに使っていると思います。 定理 ＜復習＞条件付確率の公式 Aが起きるという条件の下でBが起きる確率は \(\displaystyle P_A(B)=\frac […]
2つの二次関数の大小関係
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上野竜生です。2つの二次関数についての大小の問題で少し注意しておきたいタイプを紹介します。 例題の(1)と(2)の違いを理解しよう 例題： f(x)=x2+2x+3とg(x)=-x2+kがある。 (1) すべての実数xに […]
今週の問題 問21 答え
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上野竜生です。問21の答えを発表します。 問21 ★ f(x)=x7-14x2+2018とする。f(x)=0のすべての解(複素数解も含む)は絶対値が2.8より大きく3より小さいことを証明せよ。ただしf(-2.8)> […]