当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。○の倍数の問題は本来中学入試レベルですが,大学入試でも場合の数の問題などでたまに出るので紹介します。基本的に証明はほぼワンパターンです。

倍数判定法

2・4・8の倍数

2の倍数 下1ケタが2の倍数
4の倍数 下2ケタが4の倍数
8の倍数 下3ケタが8の倍数

[nが8の倍数⇔nの下3ケタが8の倍数]の証明

nの下3ケタをyとするとn=1000x+y(x,yは整数)とおける。

1000は8の倍数だからnを8で割った余りとyを8で割った余りは等しい。

よってnが8の倍数⇔yが8の倍数 である。

広告

5・25・125の倍数

5の倍数 下1ケタが5の倍数
25の倍数 下2ケタが25の倍数
125の倍数 下3ケタが125の倍数

3・9の倍数

3の倍数 各位の和が3の倍数
9の倍数 各位の和が9の倍数

[証明]たとえば4ケタの整数n=abcdとする(千の位がa,・・・,一の位がd)とするとn=1000a+100b+10c+d=a+b+c+d+(999a+99b+9c)

()内は3の倍数かつ9の倍数なので4ケタの場合はこれで証明できた。一般の桁数の場合でも同様。

広告

6の倍数など

このようなものは「6の倍数=2の倍数かつ3の倍数」 という風に判断すればよい。つまりnが6の倍数⇔nの各位の数字の和が3の倍数かつ,一の位が偶数 である。

11の倍数

(例)1234567

下から2ケタずつ区切る。(1|23|45|67)

それらの和が11の倍数であるときに限りもとの数は11の倍数。

この場合,1+23+45+67=136は11の倍数ではないので元の数も11の倍数ではない。

[証明]これもn=abcdとおく。ただしdは下2ケタ。(さっきの例だとd=67),cはその上2ケタ(c=45)・・・と言う風にするとn=1000000a+10000b+100c+d=a+b+c+d+(999999a+9999b+99c)

( )内は11の倍数なので元の数は11の倍数。同様にして3ケタずつ区切れば111の倍数が示せ,つまり111=37×3より37の倍数判定法も導ける。

7の倍数

例:123456654321は7の倍数か?

[手順1] 下から3ケタずつ区切り交互に色分けする(今回は黒と赤で色分けします)

123|456|654|321

[手順2] 黒同士の和と赤同士の和を求める。

黒:456+321=777
赤:123+654=777

[手順3] それらの差が7の倍数ならば元の数も7の倍数。

今回は777-777=0が7の倍数なので123456654321は7の倍数。

[証明] 1001=7×11×13を使う

下から3ケタずつ区切りabcdとする。つまり,元の数は
1000000000a+1000000b+1000c+d
=1001000000a+1001000b+1001c+d-1000000a-1000b-c
下線部は7の倍数なので7mとおく。すると

n=-1000000a-1000b-c+d+7m
=-1001000a-1001b-c+d+1000a+b-c+d

下線部は7の倍数なので7kとおく。すると

n=1000a+b-c+d+7(m+k)
=1001a-a+b-c+d+7(m+k)
=-a+b-c+d+7(m+k+143)

となるので-a+b-c+dが7の倍数なら元の数も7の倍数。

一般の桁数でも同様です。また同様の議論で13の倍数も言えます。(下線部は7の倍数と言いましたが実際は1001の倍数なので13の倍数でもあります)

 

これでかなり示せました。最後に応用問題を出してみます。大学入試ではほぼ出ないのでサクっと答えを見てもいいでしょう。

 

応用1

271828182845904523は11の倍数か?

答え 2ケタずつ区切る。

27|18|28|18|28|45|90|45|23

これらの和は322

このぐらいならもう計算できるが「322が11の倍数」かどうかを判定するのだから322をさらに2ケタずつ区切れば良い。
3|22

これらの和は25。これは11の倍数でないので322は11の倍数ではない。

322が11の倍数ではないので元の長い整数も11の倍数ではない。

応用2

1ケタだけ虫食いになっている13ケタの整数
123456[?]654321を37で割ると余りは32であった。[?]に入る数はいくらか?
答え123456[?]654321を37で割ると余りは32だから
123456[?]654321-32は37の倍数。123456[?]654289が37の倍数になれば良い。3ケタずつ区切ると1|234|56[?]|654|289

これらの和は1738+[?]

これが37の倍数になれば良い。
1738を37で割った余りは36だから[?]=1のとき題意は成立。

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。