上野竜生です。方べきの定理の３パターンとその証明をつけて，実際に練習問題を解いてみましょう。
方べきの定理１
AE・CE=BE・DEが成り立つ。
[証明]△ABE∽△DCE
(∵円周角の定理より∠BAE=∠CDE,∠ABE=∠DCE)
よってAE:BE=DE:CEとなりAE・CE=BE・DE
方べきの定理２
このときOA・OB=OC・OD
[証明]△OAD∽△OCBより
（∵円の対角の和は180°だから∠BAD+∠BCD=180°
∠BAD=180°-∠BCD
∠OAD=180°-∠BAD=∠BCD=∠OCB
同様にして∠ODA=∠OBC）
よってOA:OD=OC:OBとなりOA・OB=OC・OD
方べきの定理３
このときOA2=OB・OCが成り立つ
[証明]△OAB∽△OCA
（共通な角だから∠AOB=∠COA
接弦定理より∠OAB=∠OCA）
よってOA:OB=OC:OAとなりOA2=OB・OC
方べきの定理の逆１
[証明]3点A,B,Cまでは必ず同一円周上にありますので最後の点Dだけを示せば良い。
3点A,B,Cを通る円をかき，直線BEと円の交点をD'とする。方べきの定理より
AE・CE=BE・D'Eが成り立つ。一方仮定よりAE・CE=BE・DEが成り立つ。
よって\( DE=D'E=\frac{AE \cdot CE}{BE}\)である。
DもD'も直線BE上にありDE=D'EなのでDとD'は同じ点である。よってD=D'となり同一円周上にある。
方べきの定理の逆２
先ほどと同様で3点A,B,Cまでは必ず同一円周上です。そして4点目もその円周上になるようにD'をとり，D=D'を示す方針です。
[証明]
3点A,B,Cを通る円をかき，半直線OCと円の交点をD'とする。方べきの定理より
OA・OB=OD'・OCが成り立つ。一方仮定よりOA・OB=OD・OCが成り立つ。
よって\(OD=OD'=\frac{OA \cdot OB}{OC}\)である。
DもD'も半直線OC上にありOD=OD'なのでDとD'は同じ点である。よってD=D'となり同一円周上にある。
ここまでいろいろ図の説明をしてきましたがこういうのは図を書いてみて「こことここの積がココとココの積と等しい」などイメージで覚えればいいです。
重要なのは証明には三角形の相似を使っているということです。なのでテストで三角形の相似がありそう！と思って証明しても結局方べきの定理が出てくるだけです。
練習問題です。どの辺の長さの積かをキッチリ覚えてないと間違うと思います。気を付けて解いてみましょう。
練習問題
図の説明（円と直線の交点をＡ，Ｂとする…などという文）を書かなくても常識的にわかると思うので説明は省略します。図の?の長さを求めてください。
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