今週の問題 問30 答え
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。問30の答えを発表します。 問30 ★ m,nを整数とする。\( \log_2{(2^m+2^n)} \)が整数ならばm=nであることを証明せよ。 答え m>nまたはm<nならば\ […]
Year: 2018年
1の3乗根ωに関する問題
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。「1の3乗根のうち，1でないものの一つをωとする。このとき次の値を求めよ。」というタイプの解き方を紹介します。 ωの性質 ω3=1 かつ ω≠1（定義より明らか） 1を移項して因数分解するとω3-1=(ω- […]
円の極と極線(円外の点から引いた2つの接線の接点を通る直線)
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。円の極と極線に関する面白い性質を紹介します。考え方も独特なので是非目を通すことをオススメします。 ＜復習＞円の接線の公式 円x2+y2=r2の円周上の点(p,q)からひいた接線の方程式はpx+qy=r2 今 […]
方程式が共役な解とセットで現れることの証明
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。実数係数多項式がx=αを解に持つならばαと共役複素数も解にもつことは有名な事実だと思います。これを証明します。 実数係数多項式f(x)=0が\( x=\alpha\)を解にもつならば共役複素数\( x=\o […]
今週の問題 問29 答え
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。問29の答えを発表します。 問29 ★ A地点からB地点に移動するのに図のような道を通って移動することを考える。 図のp,q,rと書かれたところはそれぞれ確率p,q,rで通ることが可能な道であり，2つにわか […]
指数関数×三角関数の不定積分3通りの計算方法
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。∫eaxsinbxdxを計算するときどうしてますか？部分積分で解くのが正攻法ですがいろいろな解き方があります。ここでは部分積分も含めて3パターンのやり方で計算してみます。 今回計算する積分 不 […]
今週の問題 問28 答え
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。問28の答えを発表します。 問28 ★ 自然数から文字列への関数f(n)を次のように定める。 f(1)=トマト f(n+1)=f(n) + とトマト たとえばf(2)=トマトとトマト, f(3)=トマトとト […]
角の2等分線の方程式
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。角の2等分線の方程式を求める練習をしてみましょう。 角の二等分線の求め方 1. tanの加法定理で求める →発想は単純ですが意外と大変かもしれません。 2. 点と直線の距離の公式を使う →この解法を理解して […]
係数が対称である方程式の解き方(相反方程式)
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。相反(そうはん)方程式の解法を紹介します。 相反方程式とは ax4+bx3+cx2+bx+aのように係数が左右対称になっているもののことです。これによって相反であれば4次式や5次式が簡単に解け […]
今週の問題 問27 答え
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。問27の答えを発表します。 問27 ★ x9をx3-x+2で割った余りを求めよ。 答え 実際に割り算してもいいですが・・・ x3-x+2=(x-α)(x-β)(x-γ)とする。（ […]
体積の求め方（回転体ではない立体を積分で）
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。立体の体積の求め方ですが球のように公式があるものはそれで求めればいいです。また回転体は回転体の公式通りやればいいのでそれほど難しくありません。ここでは回転体でない立体の体積を積分で計算する方法を紹介します。 […]
グラムシュミットの直交化法
- 公開日：
上野竜生です。n本のベクトルが与えられたときそれらを正規直交化する方法（グラムシュミットの直交化法）を解説します。 正規直交化の方法 n本のベクトルでもできますが，計算量の都合でテストやレポートには普通n=3のときしかで […]
チェビシェフの多項式（cosのn倍角の公式）
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。cosのn倍角の公式を紹介します。 cosのn倍角の公式 始めのうち(n=3まで)は教科書で習いますし，n=4,5ぐらいなら現実的な時間で導けると思います。結果だけ示します。 cosθ=cosθ cos2θ […]
関数方程式(基本の4パターン)
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。基本的な関数方程式とその解法を紹介します。 まずは結果を覚えよう！ 基本パターンについては結果を覚えて逆算的に解くほうが楽です。なお，すべての問題で連続性や微分可能性は満たすと仮定します。 ・f(x+y)= […]
今週の問題 問26 答え
- 更新日：
- 公開日：
上野竜生です。問26の答えを発表します。 問26 ★ 次の空欄を埋めてください。センター試験のようにカタカナ1文字に数字1つが入ります。 円周上に点A,X,B,C,Dがこの順で反時計回りにある。 弦ACと弦BDは垂直に交 […]