今週の問題　問27　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問27の答えを発表します。

問27　★

x⁹をx³-x+2で割った余りを求めよ。

答え

実際に割り算してもいいですが・・・

x³-x+2=(x-α)(x-β)(x-γ)とする。（重解は持たない）

f(x)=x⁹とし、x⁹を(x-α)(x-β)(x-γ)で割った商をQ(x),余りをax²+bx+cとする。

するとα³-α+2=0⇔α³=α-2なので

f(α)=Q(α)(α³-α+2)+aα²+bα+c=aα²+bα+c=α⁹=(α³)³=(α-2)³=α³-6α²+12α-8=(α-2)-6α²+12α-8=-6α²+13α-10

赤字部分だけ抜き出すと

aα²+bα+c=-6α²+13α-10

同様に

aβ²+bβ+c=-6β²+13β-10

aγ²+bγ+c=-6γ²+13γ-10

これらを連立させるとa=-6, b=13, c=-10

よって余りは-6x²+13x-10

最初の重解を持たない部分については
・微分して実数解が1個を示す。（→実数解1個＋共役な複素数2個）
・γ=αと仮定して解と係数の関係を使って矛盾を示す。
・f(x)=x³-x+2とおきf'(x)=3x²-1とするときf(α)=f'(α)=0となるαが存在しないこと，つまりf'(α)=0ならばf(α)≠0を示す。
などいろいろできます。

正解者

0名

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>