数IIの微分積分です。微分と積分で分けてもいいですがほぼ同じなのでまとめました。なお多変数関数もここで扱うことにします（後日移動させるかも）
積分の面積が等しくなる条件
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上野竜生です。今回は積分で求める面積が等しくなる条件を扱います。正攻法と裏技の両方があるタイプを紹介します。裏技はヒラメキが必要なので本番ひらめかなかったときや，ヒラメキが使えない一般の場合にそなえてどちらの解法でもでき […]
数II 微分積分
放物線とその法線の間の面積の最小値
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上野竜生です。放物線とその法線の間の面積の最小値を紹介します。特に新しい内容もないのでサクッと流しましょう。 例題 放物線C:y=ax2(a>0)上の点Pから引いた法線をℓとする。Cとℓで囲まれる部分の面積の最小値 […]
多項式の微分を利用した不等式の証明
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上野竜生です。今回は多項式の微分を利用した不等式の証明を紹介します。最大・最小値の求め方はできることが前提です。 ポイント 区間Iでf(x)>g(x)を証明する ⇔区間I全体でf(x)-g(x)>0を証明する […]
不定積分の定義・計算・定積分の計算・性質
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上野竜生です。今回は微分まで終えていることを前提に積分に入っていきます。ざっくりいうと微分の反対が積分です。 積分とは 微分の反対の計算を積分という。 たとえばf(x)の微分がf'(x)ならf'(x)の積分はf(x)とい […]
指数・対数・三角関数の最大最小（数II）
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上野竜生です。今回は指数関数・対数関数・三角関数の最大最小問題のうち，多項式の微分の形にもってこれるものを集めました。一見指数関数の問題や三角関数の問題に見えても結局3次関数などに帰着されることがあります。 例題１ \( […]
極値を持つ条件(数II)
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上野竜生です。今回は極値をもつ条件・持たない条件を紹介します。一般の場合は数IIIに任せて，今回は数IIの範囲ということで多項式，特に3次式・4次式の場合を紹介します。結果を覚えておくといいこともありますよ。 例題１ \ […]
3次関数のグラフの書き方・グラフの形のパターン
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上野竜生です。今回は多項式の微分の計算そのものはできることを前提に，そこからグラフをかけるようにしたいと思います。 微分の意味 詳しくは教科書などで細かく紹介されているが結局のところ次の1つの重要事項だけ覚えればあとは自 […]
放物線の直交する接線の交点の軌跡
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上野竜生です。今回は放物線の直交する接線の交点の軌跡を紹介します。特に新しいことはなく時間がない人は読まなくてもいいレベルですが，有名事実なのでこのまま出題される可能性があります。 例題 y=ax2(a≠0)上の異なる2 […]
関数方程式(多項式の場合)
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上野竜生です。今回は多項式とわかっている場合の関数方程式の解き方を紹介します。解答例が長くて難しそうですが，アイデアはシンプルです。 問題 \( xf(x)=\{ f'(x) \}^2 +x^2-1 \)を満たす整式f( […]
多項式が(x-a)^2で割り切れる条件
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上野竜生です。今回は多項式が(x-a)2で割り切れる条件を考えます。ただし，これの説明には数IIIで習う積の微分を使います。 積の微分 f(x)g(x)をxで微分するとf'(x)g(x)+f(x)g'(x) これは厳密に […]
極限・微分の定義・公式(数II)
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上野竜生です。今回は数IIの微分をするための基本的な極限と基本的な微分を学びます。普通の文系の人なら途中理解できなくても最後の微分だけできればいいかと思います。仕組みがわからなくても機械的に微分できるので最低限そこだけで […]
多項式の微分積分 基本計算と応用
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上野竜生です。文系で最後のほうに習う微分積分（多項式）ですが、意外と簡単です。しかし計算を面倒臭がって使ってはいけない公式を使ってしまう人もいます。そんな落とし穴を紹介していきます。 基本の公式 ・\( f […]
【超重要】接線の公式
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上野竜生です。今回は入試で頻出の接線の公式を解説していきたいと思います。 おさらい 点(a,b)を通り傾きmの直線の式は何か？ 原点を通り、傾きがmの直線の式はy=mxですね。 これをx軸方向にa、y軸方向 […]
2つの関数の共通接線の求め方
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上野竜生です。共通接線の求め方を2パターン紹介します。 復習 2直線y=mx+nとy=m'x+n'が一致するための必要十分条件は m=m'かつn=n'である。 よく考えれば明らかだとは思いますがこのことは重要です 接点が […]