ベクトルの外積
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上野竜生です。ベクトルの外積を使って「2つのベクトルに垂直なベクトル」を求めたり空間上の三角形の面積を求めたり空間座標で与えられた四面体の体積を求めたりするのが簡単になります。高校範囲外なので検算用に理解しておきましょう […]
著者：上野竜生
平面におろした垂線の足の座標の求め方と四面体の体積
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上野竜生です。今回はOから平面ABCにおろした垂線の足（垂線と平面の交点）をHとしたときHの座標やベクトルを表すことを考えます。そしてその応用として傾いた四面体の体積を求める方法を紹介します。 基本は2つのベクトルと垂直 […]
今週の問題 問46 答え
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上野竜生です。問46の答えを発表します。 問46 ★ \( f(x)=x^2 e^x \)とする。サイコロをn回投げて出た目の和をNとし、f(x)をxでN回微分した関数をf(N)(x)とする。 f(N)(0)が3の倍数に […]
平行四辺形の領域での2変数関数の最大・最小
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上野竜生です。平行四辺形が定義域となる問題では最大最小問題を解く上で最初の１ステップが思い浮かびにくいかもしれません。その１ステップを紹介し，それ以降の部分は復習として例題を１問解いてみます。 領域が平行四辺形の場合 下 […]
w=f(z)による図形の変換（一次分数変換）
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上野竜生です。今回はzがある図形を動き，w=f(z)で変換したときのwの図形を答える問題を解説します。 基本 step1 ： w=f(z)をzについて解き，z=g(w)の形に直す step2 ： z=g(w)をもとの式に […]
平面に関して対称移動させた点の求め方
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上野竜生です。平面に関して対称移動させた点の求め方を紹介します。なお垂線の足の求め方は知っているものとするのでそこで詰まっている人は前のページに戻ってください。 基本 点Pから平面ABCにおろした垂線の足をHとする。また […]
Pから双曲線にひいた2つの接線が直交するときの軌跡(双曲線の準円)
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上野竜生です。点Pから双曲線には2つの接線が引けますが，その接線が直交するような点の軌跡を求めてみましょう。かなり難しいです。なお楕円の場合はこちらのページを参考にしてください。 問題 点P(X,Y)から双曲線\(\di […]
今週の問題 問45 答え
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上野竜生です。問45の答えを発表します。 問45 ★ 数列{an}は次の漸化式を満たす。 ・\(a_1=100, a_2=200 \) ・\((n+2)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}+na_n =0 (n \g […]
対称式の最大・最小値
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上野竜生です。対称式で表された式の最大・最小値を求める方法を紹介します。見えない条件（実数条件）を見落としがちなので注意しましょう。 解き方 対称式はすべて基本対称式だけで表せる。 なのでu=x+y , v=xyとおき， […]
直線が定数kの値に関係なく通る定点の座標
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上野竜生です。数IIの練習問題でkの式で表された直線が定数kの値に関係なく通る点の座標を求めるというのがあります。それを解いてみましょう。 解き方 定数kの値に関係なく通る点 ＝kの恒等式となるようなx,yの値を求める […]
場合の数 基本は全部数える！時間を短縮するための計算
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上野竜生です。場合の数はなかなかクセがあり，苦手とする人も多いと思います。確かにここはある意味で難しいです。ややこしくなっている人のためにいくつかパターンを紹介します。 記号の理解 n!とは1からnまでの整数をすべてかけ […]
余事象を利用した場合の数の求め方
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上野竜生です。余事象を利用して場合の数を求めてみましょう。 基本 普通に求めるのが大変そうな場合は全体の数から条件に当てはまらない場合の数を引けば条件に当てはまる場合の数が求まる。 例題１ 「１」「２」「３」「４」「５」 […]
今週の問題 問44 答え
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上野竜生です。問44の答えを発表します。 問44 ★ 次の3条件をすべて満たす自然数nは存在するか？ <条件1> nを2019で割った余りは1ではない。 <条件2> n2を2019で割った余りは1 […]
○の倍数は何通りできるか問題
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上野竜生です。数字の並べ替えで○の倍数が何通りあるかの問題を紹介します。 例題 「０」「１」「２」「３」「４」から3枚を選んで3桁の整数を作る。なお先頭に0がくるもの、たとえば012は2桁の整数12とみなす。 (1) 3 […]
組にわける方法は何通り？
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上野竜生です。組に分ける方法は何通りあるかの問題について解説します。微妙なニュアンスの違いで答えが変わってくるので注意が必要です。 重要なのは区別できるかできないか 具体例は下の例題のようなものを参考にしてください。基本 […]