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上野竜生です。平行四辺形が定義域となる問題では最大最小問題を解く上で最初の１ステップが思い浮かびにくいかもしれません。その１ステップを紹介し，それ以降の部分は復習として例題を１問解いてみます。
領域が平行四辺形の場合
下の例題を見たほうが早いですがうまく変数変換します。領域を表す式に使われているもの（○x+△y）を丸ごとu,vとおくと領域が長方形になり独立した変数の問題に帰着されることがあります。
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例題
1≦x+2y≦4 , -5≦3x-y≦3のとき3x2+2y2の最大・最小を求めよ。
答えu=x+2y , v=3x-yとおく。1≦u≦4 , -5≦v≦3
x,yについて解くと
\(x=\frac{1}{7}u+\frac{2}{7}v , y=\frac{3}{7}u-\frac{1}{7}v \)
これを3x2+2y2に代入すると
\(\displaystyle 3\left(\frac{1}{7}u+\frac{2}{7}v\right)^2 + 2\left(\frac{3}{7}u-\frac{1}{7}v \right)^2 \\
=\displaystyle \frac{3(u+2v)^2+2(3u-v)^2}{49}=\frac{3u^2+12uv+12v^2+18u^2-12uv+2v^2}{49}\\
\displaystyle =\frac{3}{7}u^2+\frac{2}{7}v^2 \)
よって最大値はu=4,v=-5のとき，つまり\(x=-\frac{6}{7}, y=\frac{17}{7}\)のとき14
最小値はu=1,v=0のとき，つまり\(x=\frac{1}{7} , y=\frac{3}{7} \)のとき\(\frac{3}{7} \)
x,yについて解くと
\(x=\frac{1}{7}u+\frac{2}{7}v , y=\frac{3}{7}u-\frac{1}{7}v \)
これを3x2+2y2に代入すると
\(\displaystyle 3\left(\frac{1}{7}u+\frac{2}{7}v\right)^2 + 2\left(\frac{3}{7}u-\frac{1}{7}v \right)^2 \\
=\displaystyle \frac{3(u+2v)^2+2(3u-v)^2}{49}=\frac{3u^2+12uv+12v^2+18u^2-12uv+2v^2}{49}\\
\displaystyle =\frac{3}{7}u^2+\frac{2}{7}v^2 \)
よって最大値はu=4,v=-5のとき，つまり\(x=-\frac{6}{7}, y=\frac{17}{7}\)のとき14
最小値はu=1,v=0のとき，つまり\(x=\frac{1}{7} , y=\frac{3}{7} \)のとき\(\frac{3}{7} \)
一般にはx,yの式にxyの項が含まれていないからと言ってu,vの式に変換したときuvの項が含まれないとは限りません。uvの項が含まれると少し面倒になります。（このタイプの解き方は多変数関数の最大・最小問題の解き方を参照してください）
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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