ベータ関数（高校範囲）
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上野竜生です。今回はベータ関数に関する性質を証明します。ベータ関数とは下の問題のB(x,y)のことです。 問題 \(\displaystyle B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \ […]
Author: 上野竜生
スターリングの公式と台形近似
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上野竜生です。今回は階乗を近似する「スターリングの公式」を扱います。y=logxについて面積の近似をするのですが長方形で近似するより台形で近似したほうが精度が良くなるので台形近似のやり方と兼ねて紹介します。 例題 (1) […]
回転体の容器に水を入れる問題
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上野竜生です。今回は回転体の容器に水を入れる問題を紹介します。最後は簡単な微分方程式を解くことになるのでその練習も兼ねてやりましょう。（微分方程式が入試範囲外なら最後の[B]は省略してください。） 例題１ 半径1の半球 […]
交点が求まらない面積の二等分に関する問題
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上野竜生です。今回は交点の座標が求まらない面積の問題を扱います。積分をするには交点の座標がいりますがそれが求められなくても面積がわかることがあります。 k>0とする。y=cosx \( (0\leq […]
媒介変数・極座標で表された領域の面積
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上野竜生です。今回は媒介変数・極座標で表された領域の面積を求めます。面積の公式についてはこちらのまとめページで確認してください。 例題 極方程式 r=1+cos2θで囲まれる面積を求めよ。 グラフを求める […]
yで積分する図形の面積
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上野竜生です。今回は図形の面積を積分で求めるもののうちyで積分するタイプを扱います。考え方はxのときと全く同じです。数IIのときは多項式なのでyで積分するメリットは全くありませんが数IIIになるとyで積分する方が楽なもの […]
xで積分する図形の面積（数III積分）
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上野竜生です。今回は数IIIの面積の求め方でx軸で積分する通常のタイプの具体例を取り扱います。基本的にグラフがかけることが前提になっています。わかりやすくするためグラフをつけていますがこれを自分で書くことを心がけましょう […]
y軸まわりの回転体の体積の計算の具体例
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上野竜生です。y軸周りの回転体の計算方法は述べましたが具体例でいろんな方法で計算してみましょう。すごく単純な例なので有名問題ですがその分いろいろな解法を見比べれると思います。 問題 \( y=\sin{x} (0\leq […]
数III積分方法と結果 標準～応用まとめ
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上野竜生です。今回は数IIIの積分の計算方法をまとめてみました。定石どおりにいかない積分ももちろんありますがそれは入試ではあまり問われません。 (1)まずは可能な限り複雑な部分を展開・有理化・ […]
今週の問題 問83 答え
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上野竜生です。問83の答えを発表します。 問83 ★ \(1\leq x\leq e^{\pi} \)かつ\( 0\leq y\leq 1\)の領域のうち\(y=\sin{(\log{x})} \)より下側の部分をA、上 […]
数III微分 定期試験対策(模擬試験)
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上野竜生です。数IIIの「微分」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。 解答 […]
連続か？微分可能か問題
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上野竜生です。今回は関数f(x)が連続か？また微分可能か？という問題について紹介します。 連続 関数f(x)がx=aで連続であるとは\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=f(a) \)が […]
マクローリン展開の一部で挟まれた不等式の証明
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上野竜生です。不等式の証明問題で定番の問題を紹介します。証明方法はほぼワンパターンなので１度見ておけばできるようになると思いますが，難関大学になると不等式そのものも知識としてもっておいたほうがいいと思うので覚えておきたい […]