積分（置換積分）何をtとおく？
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上野竜生です。置換積分とは次の公式です。 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx= \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t) dt $$ ただし，\( x=g(t) , a=g(\alp […]
著者：上野竜生
今週の問題 問52 答え
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上野竜生です。問52の答えを発表します。 問52 ★ 不定積分\(\displaystyle \int \frac{\sin{x}}{2\sin{x}+\cos{x}} dx \)を計算せよ。 答え \(\ […]
aのb乗=bのa乗の整数解と大小比較と類題
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上野竜生です。aのb乗とbのa乗に関する問題はたまに出るのでここで解き方を紹介します。 例題 99100と10099ではどちらが大きいか？ こういう問題の解き方はある関数f(x)をおいてf(99)とf(10 […]
単純な置換積分ならわざわざ置換する必要なし
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上野竜生です。ある程度置換積分に慣れてきた人にとってわざわざ何をtとおくか明記して・・・というのは面倒ですね。ある程度単純なものは置換するまでもない積分があります。実際に見てみましょう。 例題１ 不定積分 次の不定積分 […]
部分積分～どっちを微分する？～
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上野竜生です。部分積分の基本の公式と実際の適用パターンについて紹介します。 部分積分の公式 \( \displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx \ […]
今週の問題 問51 答え
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上野竜生です。問51の答えを発表します。 問51 ★ 0°<x<22.5°の範囲で次の方程式を解け。 \(\displaystyle \frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\tan{2x}}- […]
4点が同一平面上にある条件をベクトルで
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上野竜生です。今回は四面体OABC上の点Pを\(\vec{OP}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC} \)・・・（＊）とおき，Pがある平面上にあるときa,b,cにはどんな制約があるか調べます。つま […]
メルカトル級数とライプニッツ級数
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上野竜生です。自然数の逆数を足したり引いたりするとlog2に近づき、奇数の逆数を足したり引いたりすると\(\frac{\pi}{4} \)に近づくという面白い性質があります。それを証明します。 それと同時に高校生が間違い […]
対数関数の基礎事項と対数方程式・対数不等式
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上野竜生です。対数関数の基本事項を解説します。 対数の定義 \( a^x=b\)を満たす\(x\)を\(\log_{a}b \)と書きます。(a>0,a≠1,b>0) 対数の問題で必ず注意しないといけないこと […]
今週の問題 問50 答え
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上野竜生です。問50の答えを発表します。 問50 ★ 三角形ABCの3つの傍心をD,E,Fとする。 三角形DEFの3辺の比が4:5:6のとき三角形ABCの3辺の比を求めよ。 答え 上の図よりAは辺EF上にあ […]
指数方程式と指数不等式
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上野竜生です。今回は指数方程式と指数不等式の解き方を一気に紹介します。 指数方程式 解法１：底を統一して指数比較（もしくは対数をとる） あとの解法２でも最後にはこの解法１に帰着されるので超基本解法です。これで解けるパター […]
弧度法
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上野竜生です。角度を表すときは60°などの度数法で表すのが普通でした。しかし，これからは弧度法で表したほうが便利なこともあります。そこで弧度法を学習しておきましょう。 弧度法の定義 半径1の扇形で弧の長さが1の中心角を1 […]