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上野竜生です。問163の答えを発表します。

問163

次の空欄【ア】【イ】を埋めよ(※共通テストと異なり1文字=1桁とは限らない)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k =2024 \)
を満たす自然数\( n ,a_1 , a_2 , \cdots , a_n \)
の中で積\( a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \)の最大値をMとする。
Mは最高位の数字が【 ア 】である【 イ 】桁の整数である。
ただし,log102 = 0.3010 , log103 = 0.4771としてよい。

 

答え

ア=7 イ=322

この問題は私大等の答えだけを要求する問題を想定しています。
キッチリ証明しなくていいなら

・大きい数をかけるより2をたくさんかけたほうが指数関数的に増えてお得だろう。
・\( 2^3=8 , 3^2=9 \)より2よりは実は3をたくさんかけたほうがお得。
・\( 2^4=4^2 \)なので2を2回かけるのと4をかけるのは同点。
・以上よりなるべく3をかけて余った分は2をかけるのが最大っぽい。

つまり,\( M=2^{1} \cdot 3^{674} \)である。
(以下でこの部分を証明します。証明不要の場合(♪)マークまで読み飛ばしてください)

証明するなら
\( a_1,a_2, \cdots , a_n \)の中に5以上のものはない。
もし存在したとする。
k≧3として奇数2k-1が存在したならば(2k-1)<k(k-1)なので(2k-1)をk+(k-1)に分割する方が大きくなってしまい,Mが最大であることに矛盾。
偶数2kが存在したときも(2k)<k・kなので2kをk+kに分割する方が大きくなってしまい,Mが最大であることに矛盾。
よって\( a_1,a_2,\cdots ,a_n \)はすべて4以下である。

また4=2×2なので4を2+2に分割しても同じであり,すべての「4」を2+2に分割することによって\( a_1,a_2,\cdots ,a_n \)はすべて3以下であるとしてよい。

また,もし\( a_1,a_2\cdots ,a_n \)の中に1があると仮定する
\( a_n=1 \)として一般性を失わない。
\( a_1 \cdot a_2 \cdots a_{n-2} \cdot a_{n-1} \cdot a_n \\ = a_1 \cdot a_2 \cdots a_{n-2} \cdot a_{n-1} < a_1 \cdot a_2 \cdots a_{n-2} \cdot (a_{n-1}+1) \)
なのでnを1つ減らして\( a_{n-1} \)の値を1増やす方が大きくなってしまい,Mが最大であることに矛盾。

よって\( a_1,a_2,\cdots ,a_n \)はすべて2または3である。

2の個数をα個,3の個数をβ個とする。
このとき,和が2024であることから
2α+3β=2024
この不定方程式を解くと
α=3k+1 ,β=-2k+674
(kは0≦k≦337を満たす整数)

積は
\(\displaystyle 2^{α} \cdot 3^{β} \\ \displaystyle =2\cdot 8^k \cdot 3^{674} \cdot \frac{1}{9^k} \\ \displaystyle = 2\cdot 3^{674} \left( \frac{8}{9} \right)^k \)
となるのでkが大きくなるほど積は小さくなる。よってk=0のとき最大。

このときα=1,β=674 , n=675 , \( M=2^{1} \cdot 3^{674} \)である。

(♪) 証明不要の場合,ここから解答を続けます。

\( \log_{10}{M}= 0.301+674\cdot 0.4771=321.8664 \)
なので322桁。
\( \log_{10}{7} < \log_{10}{\sqrt{50}}=0.8495 < 0.8664 < \log_{10}{8}=0.903 \)
なので先頭の数字は7。

 

POINT一般に合計がNになるように正の数で分割したとき,その積が最大になるのは
・「整数に」分割しなければならないなら,なるべく3を多くとり,余った分を2にする
・「実数に」n個に分割するなら,どうせn個に分割するならすべて同じ値\((\frac{N}{n})\)になるように分割するのが良く,そのうえで\((\frac{N}{n})\)が自然対数の底e=2.718・・・になるべく近いように分割するのが良い。ただし2.718より少し大きくなるnと2.718より少し小さくなるnでどちらが積が大きいかの議論は大変。

本来はこういう内容を証明できるのが良いですが,私立大学では結果のみを答えさせる割に知識として結果だけをしっておかないと厳しい問題として出題されることがあるので難関私立大受験者は証明抜きで結果だけ知っておいても損はないでしょう。

 

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