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上野竜生です。問162の答えを発表します。

問162

問題

[1] \(f(x)=x^3-5x \)とする。y=f(x)と直線y=kの異なる交点の数が3個になるようなkの範囲は
ア<k<イである。
ア・イの選択肢

⓪ \( \sqrt{5} \)  ① \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3} \)  ② \(\displaystyle \frac{10\sqrt{15}}{9} \)
③ \( -\sqrt{5} \)  ④ \(\displaystyle -\frac{\sqrt{15}}{3} \)  ⑤ \(\displaystyle -\frac{10\sqrt{15}}{9} \)

このときの交点のx座標をa,b,c(a<b<c)とする。c-aの最大値を求めたい。

<太郎君>
解と係数の関係より
a+b+c=ウ
ab+bc+ca=エ
だから\( (c-a)^2 \)をbで表せるね。

ウ・エの選択肢

⓪ 0  ① 1  ② 3  ③ 5
④ -1  ⑤ -3  ⑥ -5

<花子さん>
y=f(x)とx軸の交点を,x座標の小さい順にP,Q,Rとする。このとき,Pにおけるy=f(x)の接線l1の傾きはオ,Rにおけるy=f(x)の接線l2の傾きはカとなる。

4直線l1,l2,y=ア,y=イで囲まれる四角形はキとなるね。

オ・カの選択肢

⓪ 0  ① 3  ② 10  ③ 100
④ -5  ⑤ \( 5\sqrt{5} \)

キの選択肢

⓪ 正方形
① 正方形ではない長方形
② 長方形ではない平行四辺形
③ 平行四辺形ではない台形

太郎君または花子さんの考え方より,c-aの最大値はクとなる。

クの選択肢

⓪ \(\sqrt{5} \)   ① \(\sqrt{10} \)  ② \(\sqrt{15}\)
③ \( 2\sqrt{5} \)  ④ 4  ⑤ 5

[2] y=f(x)のx>0の部分を放物線でおきかえた関数
\( \begin{eqnarray} g(x)= \begin{cases} x^3-5x & ( x \leq 0  ) \\ 3x^2-5x & ( x>0 ) \end{cases} \end{eqnarray}  \)
を考える。y=g(x)と直線y=kの異なる交点の数が3個になるkの範囲は
ケ<k<コ
である。また,このときの交点のx座標をα,β,γ(α<β<γ)とするとγ-αの最大値はサである。

ケ・コの選択肢

⓪ \( \sqrt{5} \) ① \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3} \) ② \(\displaystyle \frac{10\sqrt{15}}{9} \)
③ \( \displaystyle \frac{5}{3} \)  ④ \(\displaystyle \frac{5}{6}\)  ⑤ \(\displaystyle \frac{25}{12} \)
⑥ \( -\sqrt{5} \) ⑦ \(\displaystyle -\frac{\sqrt{15}}{3} \) ⑧ \(\displaystyle -\frac{10\sqrt{15}}{9} \)
⑨ \( \displaystyle -\frac{5}{3} \)  ⑩ \(\displaystyle -\frac{5}{6}\)  ⑪ \(\displaystyle -\frac{25}{12} \)

サの選択肢

⓪ \(\displaystyle \frac{25}{6} \)  ① \(2\sqrt{5} \)  ② \(\displaystyle \frac{10+\sqrt{15}}{3} \)
③ \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{5}}{3} \)  ④ 4  ⑤ 5

 

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答え

ア ⑤  イ ②
ウ ⓪  エ ⑥
オ ②  カ ②  キ ②
ク ③
ケ ⑪  コ ②
サ ④

解説

ア・イ

\( f’(x)=3x^2 -5 \)なので\( f’(x)=0 \)を解くと\( x= \pm \frac{\sqrt{15}}{3} \)
よって増減表は下の通り

\( \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -\frac{\sqrt{15}}{3} & \cdots & \frac{\sqrt{15}}{3} & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \frac{10\sqrt{15}}{9} & \searrow & -\frac{10\sqrt{15}}{9} & \nearrow \end{array}\)

y=f(x)のグラフは以下の通りとなる。

3次関数のグラフ

グラフよりy=f(x)と直線y=kが相異なる3点で交わるkの範囲は
\( \displaystyle -\frac{10\sqrt{15}}{9} < k < \frac{10\sqrt{15}}{9} \)

太郎君の考え ウ・エ → クを求める

\(y=x^3-5x\)とy=kの交点のx座標は
\(x^3-5x-k=0 \)の相異なる3つの解である。解と係数の関係より
a+b+c=0
ab+bc+ca=-5
abc=k

最後の式はkを含んでいるため1変数増えてしまう。最初の2つの式だけを変形して\( (c-a)^2 \)をkを使わないbだけの式で表す。

a+c=-b
ab+bc+ca=ac+b(a+c)=ac+b(-b)=-5
より\( ac= b^2-5 \)
よって
\( (c-a)^2 = (a+c)^2 -4ac=(-b)^2 -4(b^2-5)=-3b^2+20 \)
b=0のとき最大値20をとる。
(このとき\( a=-\sqrt{5} , c=\sqrt{5} , k=0 \)で条件を満たす。)
以上よりc-aの最大値は\( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \)

花子さんの考え オ・カ・キ → クを求める

\( P(-\sqrt{5},0) , Q(0,0) , R(\sqrt{5} ,0) \)である。
Pからひいた接線の傾きは\( f’(-\sqrt{5})=10 \)
Rからひいた接線の傾きは\( f’(\sqrt{5})=10 \)
よってl1とl2は平行である。
y=アとy=イはともにx軸に平行なのでこの2直線も平行である。よって平行四辺形
(l1,l2がy軸に平行ではないので長方形ではない)

花子さんの考え

平行四辺形なので図においてオレンジ色と濃い青色の長さは等しい(濃い青色のすぐ下に水色の線があります。濃い青色は赤い接線から赤い接線まで。水色は3次関数の交点から3次関数の交点までです。)
またl1,l2はy=f(x)の接線なので水色のほうが短い
よってc-aが最大になるのはオレンジのときである。
最大値はRのx座標からPのx座標を引いて求められるので答えは\( 2\sqrt{5} \)

ケ・コ

x≧0の式は平方完成すると
\(\displaystyle 3x^2-5x=3(x-\frac{5}{6})^2 -\frac{25}{12} \)
なのでグラフは下の通り(サの解説参照)。よってy=g(x)とy=kが相異なる3点で交わるようなkの範囲は
\(\displaystyle -\frac{25}{12} < k < \frac{10\sqrt{15}}{9} \)

x<0のときは3次関数でx≧0のときは2次関数なので解と係数の関係のようなうまい関係はない。なので太郎君の考えは使えない。
花子さんの考え方で解く。
[1]の考察より平行四辺形をつくればよい。つまり,[1]の点P,Rに相当する場所を見つければそのときのP(α,g(α)),Q(β,g(β)),R(γ,g(γ))に対してγ-αが求めるものである。

[2]の考察
平行四辺形になるためにはPとRのy座標が等しく,P,Rの接線の傾きも等しくないといけない。よって
g(α)=g(γ)
g’(α)=g’(γ)
が成り立つ。グラフよりPはx座標が負で,Rはx座標が正であるから
\( \alpha^3 - 5\alpha = 3\gamma^2 -5\gamma \)
\( 3\alpha^2 -5 = 6\gamma - 5 \)
第2式より\( \gamma = \frac{1}{2} \alpha^2 \)を第1式に代入して
\( \alpha^3 -5\alpha = \frac{3}{4}\alpha^4 - \frac{5}{2}\alpha^2 \)
α<0なので,両辺をα(≠0)で割って4倍し,整理すると
\( 3 \alpha^3 - 4\alpha^2 - 10\alpha +20 \\ = (\alpha+2)(3\alpha^2 -10\alpha+10)=0 \)
2つめの( )内の2次式は判別式が負なので実数解をもたない。α<0なのでα=-2
よって\( \alpha=-2 , \beta=1-\sqrt{2} , \gamma=2 , k=2 \)のとき最大値γ-α= 4をとる。

 

 

 

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