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上野竜生です。問161の答えを発表します。

問161

問題

AB=5,BC=7,CA=6の三角形ABCがある。
∠BAC=θとすると\( \cos{\theta}= \frac{ア}{イ} \)である。
また,△ABCの面積は\(ウ\sqrt{エ}\)である。

3点P,Q,Rがそれぞれ辺BC,AB,AC上を動くとする。△PQRの周の長さの最小値を求めたい。

辺ABに対してPと対称な点をP’ , 辺ACに関してPと対称な点をP’’とする。
∠BAP=∠BAP’,∠CAP=∠CAP’’より
∠P’AP’’=オである。

[オ]の選択肢

⓪ θ  ① 2θ  ② 90°-θ  ③ 90°-2θ
④ 90°+θ  ⑤ 90°+2θ  ⑥ 180°-θ  ⑦ 180°-2θ

PQ=P’Q , PR=P’’Rより
PQ+QR+RP=P’Q+QR+RP’’である。

AP=AP’=AP’’より△AP’P’’が,∠P’AP’’=オの二等辺三角形であることに注意して,
P’Q+QR+RP’’の最小値をAPとθで表すと[カ]となる。

[カ]の選択肢

⓪ APsinθ  ① APcosθ  ② AP(sinθ+cosθ)
③ APsin2θ  ④ APcos2θ
⑤ 2APsinθ  ⑥ 2APcosθ

 

以下では,PQ+QR+RPが最小となる位置に点P,Q,Rを固定する。
このときPQ+QR+RP=\( \frac{キクケ}{コサ} \),
AQ=\( \frac{シ}{ス} \)である。

 

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答え

ア/イ=1/5
ウ√エ=6√6
オ=①
カ=⑤
キクケ/コサ=288/35
シ/ス=6/5

解説

ア~エ

余弦定理より
\(\displaystyle \cos{\theta}= \frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \)
相互法則より(0°<θ<180°よりsinθ>0に注意)
\(\displaystyle \sin{\theta}=\sqrt{1-\cos^2{\theta}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \)
△ABC\(\displaystyle = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 6 \sin{\theta}=15\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6} \)

オの考察

∠BAP=α,∠CAP=βとするとθ=α+β
∠BAP’=α,∠CAP’’=βなので
∠P’AP’’=α+α+β+β=2(α+β)=2θ

P’Q+QR+RP’’が最小になるのは4点P’,Q,R,P’’が同一直線上にあるときでそのときの
P’Q+QR+RP’’=P’P’’になる。

△AP’P’’はAP’=AP’’=APであり,∠P’AP’’が2θの二等辺三角形なので
AからP’P’’に垂線をおろし,P’P’’との交点をHとすると
P’H=APsinθ,P’’H=APsinθなので
P’P’’=P’H+P’’H=2APsinθ

カの考察

キクケコサ

PQ+QR+RPの最小値は2APsinθである。
\(\sin{\theta}=\frac{2\sqrt{6}}{5} \)で一定なので,APが最小になることを考える。
APが最小になるのはAP⊥BCになるとき(Aを中心とする半径rの円をr=0から少しずつ大きくしたとき最初にBCと共有点をもつのはBCと接するときで,このときAP⊥BC)
AP⊥BCなのでBC=7と三角形の面積6√6を使うと
\(\displaystyle AP=\frac{12\sqrt{6}}{7} \)
よって\(\displaystyle PQ+QR+RP=2 \cdot \frac{12\sqrt{6}}{7} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{288}{35} \)

シス

シスの考察

ここまではAを上にした図で議論しAP⊥BCを得たが,Cを上にした図で全く同じ議論をするとCQ⊥ABがいえる。
よってAQ=ACcosθ=\(\displaystyle  \frac{6}{5} \)

△ABCが鋭角三角形のとき,PQ+QR+RPが最小となるのはP,Q,Rが各頂点から対辺に引いた垂線の足のときである。

 

 

 

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