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上野竜生です。問164の答えを発表します。

問164

\( \displaystyle I_n=\int_{\frac{1}{n}}^1 \sqrt{1-x^2} dx \)とする。

(1)\(\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty} I_n \)とする。\(\alpha= \)【 ア 】である。
(2)αは(1)の値とする。\(\displaystyle \beta=\lim_{n\to \infty} n(\alpha - I_n) \)とする。\(\beta=\)【 イ 】である。
(3)αは(1)の値とし,βは(2)の値とする。\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} n^k (\beta- n(\alpha-I_n)) \)が0以外の有限の値に収束するとき,k=【 ウ 】であり,そのときの収束値は【 エ 】である。

 

答え

ア \(\displaystyle \frac{\pi}{4} \)
イ 1
ウ 2
エ \(\displaystyle \frac{1}{6} \)


問164の図1(い)+(う)ー(あ)ー(い)<(う)<(い)+(う)

図より
(1/4の円から1/nの長方形をひいたもの<求めるもの<1/4の円)

よって
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n} < I_n < \frac{\pi}{4} \)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n} = \frac{\pi}{4} \)
ハサミウチの原理より
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n=\frac{\pi}{4} \)


\(\displaystyle \alpha-I_n=\frac{\pi}{4}-I_n \)は図の(い)である。

問164の図2
\(\displaystyle \sqrt{1-(\frac{1}{n})^2} \cdot \frac{1}{n} < \frac{\pi}{4}-I_n < 1 \cdot \frac{1}{n} \)

\(\displaystyle \sqrt{1-(\frac{1}{n})^2} < n(\alpha- I_n) < 1 \)
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt{1-(\frac{1}{n})^2} = 1 \)
ハサミウチの原理より
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(\alpha-I_n)=1 \)

ウ・エ
\(\displaystyle n^k (\beta- n(\alpha-I_n)) \\ = \displaystyle n^k \left\{ 1-n\left( \frac{\pi}{4} - \int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt{1-x^2} dx \right) \right\} \\ = \displaystyle n^k \left( 1- n \int_0^{\frac{1}{n}} \sqrt{1-x^2} dx \right) \\ = \displaystyle n^k \int_0^{\frac{1}{n}} n-n\sqrt{1-x^2} dx \\ = \displaystyle n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} 1-\sqrt{1-x^2} dx \\ =\displaystyle n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} dx \)

ここで\( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \)のとき
\(\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} \leq \frac{1}{1+\sqrt{1-(\frac{1}{n})^2}} \)

よって
\(\displaystyle n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{1}{2}x^2 dx <n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} dx < n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{1}{1+\sqrt{1-(\frac{1}{n})^2}}x^2 dx \)

両端を計算すると
\(\displaystyle \frac{1}{6}n^{k-2} < n^{k+1} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}} dx < \frac{1}{3\left(1+\sqrt{1-(\frac{1}{n})^2}\right)} n^{k-2} \)
よってk=2のときに収束する
このとき左辺\(\displaystyle \to \frac{1}{6} (n \to \infty) \)
右辺\(\displaystyle \to \frac{1}{6} (n \to \infty) \)
なのでハサミウチの原理より極限は\(\displaystyle \frac{1}{6} \)

 

 

 

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