今週の問題　問150　答え

上野竜生です。問150の答えを発表します。

問150

答え

AC=x,BM=yとおく。中線定理より
\( AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) \)
\( 16+x^2 = 2+2y^2 \)
つまり，\( 4y^2=2x^2+28 \)
△ABCについて余弦定理より
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{16+x^2-(2y)^2}{8x}=\frac{-x^2-12}{8x} \)
相加相乗平均の関係より
\(\displaystyle \cos{A}=-\left( \frac{x}{8} + \frac{3}{2x} \right) \leq -2\sqrt{\frac{x}{8} \cdot \frac{3}{2x}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
等号成立は\(x=2\sqrt{3} \)のとき。
cosAの最小値が\(\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} \)であり，0°＜A<180°ではcosxは単調減少なのでAの最小値は150°

正解者：2名（古春 さま，中西ゆか さま）