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上野竜生です。問145の答えを発表します。

問145

問145
1辺が1の正方形ABCDがある。辺AB上(端点除く)にAP=aとなるように点Pをとり,辺BC上(端点除く)にCQ=bとなるように点Qをとる。△PQDの面積をS,△APD,△BQP,△CDQの面積をそれぞれ\(S_1,S_2,S_3\)とするとき
\(S^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2\)
を満たすようなa,bの関係式を求めよ。

 

答え

\( S_1=\frac{1}{2}a \)
\( S_2=\frac{1}{2}(1-a)(1-b) \)
\( S_3=\frac{1}{2}b \)
\( S=1-S_1-S_2-S_3\\ =1-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}(1-a)(1-b)-\frac{1}{2}b \\ = \frac{2-a-b-ab+a+b-1}{2} \\ = \frac{1-ab}{2} \)
よって面積の条件式から
\(\displaystyle \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}(1-a)^2(1-b)^2 + \frac{1}{4}b^2 =\frac{1}{4}(1-ab)^2 \)
つまり
\( a^2+b^2+(ab -a-b+1)^2 = (1-ab)^2 \)
\( a^2+b^2 + a^2b^2 +a^2 + b^2+1 - 2a^2 b - 2ab^2 +2ab +2ab-2a-2b=a^2 b^2 - 2ab+1 \)
\( a^2+b^2 +a^2 + b^2 - 2a^2 b - 2ab^2 +6ab -2a-2b= 0 \)
\( a^2+b^2 - a^2 b - ab^2 +3ab -a-b= 0 \)
\( (a+b-1)(a+b-ab)=0 \)
よってa+b=1またはa+b=abである。
しかし0<a<1かつ0<b<1なので0<1-a<1かつ0<1-b<1となるから
(1-a)(1-b)<1
であり,整理するとa+b>abとなる。つまりa+b=abとはならない。
以上より求める条件はa+b=1である。

 

 

 

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