今週の問題　問144　答え

上野竜生です。問144の答えを発表します。

問144

答え

\(\displaystyle \frac{(ab-1)(ac-1)}{bc}=(a-\frac{1}{b})(a-\frac{1}{c}) \)
b,cは正の整数だから\(\displaystyle \frac{1}{b} , \frac{1}{c} \)は0より大きく1より小さいことに注意すると
\(\displaystyle (a-1)(a-1)<(a-\frac{1}{b})(a-\frac{1}{c})< a \cdot a \)
つまり
\( a-1 < \sqrt{2023} <a \)
となるからこれを満たす正の整数aはa=45

a=45を元の式に代入すると
\( (45b-1)(45c-1)=2023bc \)
\( 2bc- 45b - 45c + 1=0 \)
\( (2b-45)(2c-45)=2023 \)

2b-45<0かつ2c-45<0と仮定すると
1≦b≦22かつ1≦c≦22
\( (2b-45)(2c-45)\leq 43^2 <2023 \)
なので不適。
2b-45＞0かつ2c-45＞0なので
(2b-45,2c-45)=(1,2023),(7,289),(17, 119)
ここから(b,c)を求めると
(b,c)=(23,1034),(26,167),(31,82)
すべて条件を満たすのでcの値としてあり得るのは
c=82,167,1034

正解者：1名（古春 さま）