今週の問題　問146　答え

上野竜生です。問146の答えを発表します。

問146

答え

(1)
n≦6のとき
\(\displaystyle a_n = \frac{n}{2^n} \geq \frac{1}{2^6}=\frac{1}{64} > \frac{1}{100} \)
7≦n≦9のとき
\(\displaystyle a_n = \frac{n}{2^n} \geq \frac{7}{2^9}=\frac{7}{512} > \frac{1}{100} \)
n=10のとき
\(\displaystyle a_{10}=\frac{10}{1024} < \frac{1}{100} \)
だから最小の自然数はn=10

(2)
数学的帰納法で示す
n=6のとき6<8より成立。
n=kで成立すると仮定する。n=k+1のとき
(右辺)
\( = 2^{\frac{k+1}{2}} \\ = \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{k}{2}} > \sqrt{2}k\cdots ① > k+1\cdots ② \)
=(左辺)よりn=k+1のときも成立
（①は帰納法の仮定。②はk>5なので両辺を\(\sqrt{2}-1 \)倍して
\( \sqrt{2}k -k >5\sqrt{2}-5>1\)を移項すると得られる。）

(3)数列の定義より明らかに\( 0<a_n \)なので絶対値は無視してよい。
ε<0.01なので少なくともn≧10であるから(2)の式は使える。(2)の式を使うと
\(\displaystyle a_n < \frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^n} = 2^{-\frac{n}{2}} < \epsilon \)
最後の部分に2を底とする対数をとると
\(\displaystyle -\frac{n}{2} < \log_{2}{\epsilon} \)
\(\displaystyle n>-2\log_{2}{\epsilon} = \log_{2}{\frac{1}{\epsilon^2}} \)
よってこれを満たす自然数として
\(\displaystyle n= \left[ \log_{2}{\frac{1}{\epsilon^2}} \right] +1 \)
とすればよい。

【別解】指数の方を消す
(2)の関係が使えるところまではおなじ。(2)の式は両辺正だから
\( n^2 < 2^n \)
が成り立つ。よって
\(\displaystyle a_n < \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} < \epsilon \)
これを満たす自然数として
\(\displaystyle n=\left[ \frac{1}{\epsilon} \right] +1 \)
とすればよい。

正解者：1名（古春 さま）