今週の問題　問145　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問145の答えを発表します。

問145

$問145$
1辺が1の正方形ABCDがある。辺AB上(端点除く)にAP=aとなるように点Pをとり，辺BC上(端点除く)にCQ=bとなるように点Qをとる。△PQDの面積をS,△APD,△BQP,△CDQの面積をそれぞれ$S_1,S_2,S_3$とするとき
$S^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$
を満たすようなa,bの関係式を求めよ。

答え

$ S_1=\frac{1}{2}a $
$ S_2=\frac{1}{2}(1-a)(1-b) $
$ S_3=\frac{1}{2}b $
$ S=1-S_1-S_2-S_3\\ =1-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}(1-a)(1-b)-\frac{1}{2}b \\ = \frac{2-a-b-ab+a+b-1}{2} \\ = \frac{1-ab}{2} $
よって面積の条件式から
$\displaystyle \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}(1-a)^2(1-b)^2 + \frac{1}{4}b^2 =\frac{1}{4}(1-ab)^2 $
つまり
$ a^2+b^2+(ab -a-b+1)^2 = (1-ab)^2 $
$ a^2+b^2 + a^2b^2 +a^2 + b^2+1 - 2a^2 b - 2ab^2 +2ab +2ab-2a-2b=a^2 b^2 - 2ab+1 $
$ a^2+b^2 +a^2 + b^2 - 2a^2 b - 2ab^2 +6ab -2a-2b= 0 $
$ a^2+b^2 - a^2 b - ab^2 +3ab -a-b= 0 $
$ (a+b-1)(a+b-ab)=0 $
よってa+b=1またはa+b=abである。
しかし0<a<1かつ0<b<1なので0<1-a<1かつ0<1-b<1となるから
(1-a)(1-b)<1
であり，整理するとa+b>abとなる。つまりa+b=abとはならない。
以上より求める条件はa+b=1である。