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上野竜生です。問135の答えを発表します。

問135

\( A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 7 \end{pmatrix} \)
とする。\( \det{(A^4-A^3)} \)を求めよ。

 

答え

Eを単位行列,B=A-Eとする。

\( A^4-A^3=A^3(A-E)=A^3 B \)なので

\( \det{(A^4-A^3)}= \det{A^3 B}=(\det{A})^3 \det{B} \)

ここでAを行基本変形すると

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \)

よって

\( \det{A}=\det{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}} \\ = 1 \cdot \det{\begin{pmatrix}  1 & 1 \\  1 & 4 \end{pmatrix}} \\ = 1 \cdot 4- 1\cdot 1=3 \)

\( B=A-E=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix} \)

なので

detB=0・(-2)・6+1・2・(-2)+3・(-1)・3-1・(-2)・3-0・3・(-2)-6・(-1)・2
= -4 -9 +6 + 12=5

以上より

\( \det{(A^4-A^3)}=(\det{A})^3 \det{B} = 3^3 \cdot 5 =135 \)

 

 

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