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上野竜生です。問134の答えを発表します。

問134

AB=22,AC=AD=13 , BC=21,CD=10,DB=17である四面体ABCDがある。点AからBCに引いた垂線とBCとの交点をKとし,AからCDにひいた垂線とCDの交点をLとする。また,DからBCにひいた垂線とBCとの交点をMとする。
(1)CK,CL,CMの長さをそれぞれ求めよ。
(2)LK//DMを示せ。ただし(1)の結果は用いてよい。
(3)△AKLの面積を求めよ。
(4)四面体ABCDの体積を求めよ。[2014 開成高校]

 

答え

(1)∠ACB=αとすると余弦定理より
\(\displaystyle \cos{\alpha}=\frac{169+441-484}{2 \cdot 13 \cdot 21}=\frac{3}{13} \)
よってCK=13cosα=3
△ACDは二等辺三角形だからLはCDの中点。CL=5
∠DCB=βとすると余弦定理より
\(\displaystyle \cos{\beta}=\frac{100+441-289}{2 \cdot 10 \cdot 21}=\frac{3}{5} \)
よってCM=10cosα=6

面倒なので余弦定理を使いましたがもちろん補助線を引いて三平方の定理を駆使して解くのが中学生に解かせるテストとしては模範解答になります。
(1)は定番問題なので特に詳しく記述しなくても問題ないでしょう。

(2)△CKLと△CMDについて
CK=3 , CL=5 , CM=6 , CD=10
つまりCK:CL=CM:CD
2組の辺の比が等しいから△CKL∽△CMD
よって∠CKL=∠CMD
同位角が等しいからLK//DM

(3)△ADLで三平方の定理よりAL=12である。
また\(\displaystyle \sin{\alpha}=\frac{4\sqrt{10}}{13} \)なので\( AK=13\sin{\alpha}=4\sqrt{10} \)
\(\displaystyle \sin{\beta}=\frac{4}{5} \)なので\( DM=10\sin{\alpha}=8 \)
さらに(2)より相似比が1:2なのでKL=4
\( AL^2+KL^2=AK^2\)
が成り立つので∠ALK=90°の直角三角形。
△AKL=4×12÷2=24

(4)∠AKC=90°。∠LKC=90°なので平面AKLとCKは直交する。
四面体C-AKLの体積は24×3÷3=24
相似比を考えることにより全体の四面体ABCDの体積は
\(\displaystyle 24 \cdot \frac{21}{3} \cdot \frac{10}{5}=336 \)

 

 

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