今週の問題　問136　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問136の答えを発表します。

問136

(1)$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{3n^2+k^2}=\alpha $とする。$\alpha $を求めよ。
(2)$ \alpha $は(1)で求めた値とする。
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\alpha- \frac{n^2}{3n^2+k^2} \right) $を求めよ。

答え

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+3} $とする。
(1)$\displaystyle \alpha=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{3+(\frac{k}{n})^2} $
なので区分求積法より求めるものは
$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx $である。
$ x=\sqrt{3}\tan{\theta} $とおくと$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}= \frac{\sqrt{3}}{\cos^2{\theta}} $なので
$\displaystyle \alpha=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3(\tan^2{\theta} +1)} \cdot \frac{\sqrt{3} d\theta }{\cos^2{\theta}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \int_0^{\frac{\pi}{6}} d\theta= \frac{\sqrt{3} \pi}{18} $

(2)
$ y=f(x) $のグラフを考える。
$\displaystyle f’(x)=\frac{-2x}{(x^2+3)^2} $
$\displaystyle f’’(x)=\frac{-2(x^2+3)^2+2x\cdot 2 \cdot 2x \cdot (x^2+3)}{(x^2+3)^4} \\ \displaystyle = \frac{-2x^2-6+8x^2}{(x^2+3)^3}= \frac{6(x-1)(x+1)}{(x^2+3)^3} $
よって0<x<1でf’(x)<0かつf’’(x)<0なのでy=f(x)は0<x<1で単調減少かつ上に凸である。

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( \alpha- \frac{n^2}{3n^2+k^2} \right) \\ =\displaystyle n\left\{ \alpha-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot f\left( \frac{k}{n} \right) \right\} $
なので$\displaystyle \alpha-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot f\left( \frac{k}{n} \right) $
は下のグラフの青い部分である。

$区分求積の誤差$

このうち$\displaystyle \frac{k-1}{n} \leq x \leq \frac{k}{n} $の部分を取り出すと次のような不等式が成立する

$区分求積の誤差$

オレンジの面積＜青の面積＜緑の面積

ここで緑の三角形の高さXを求める。
$ y=f(x) $上の点$\displaystyle \left( \frac{k}{n} , f\left( \frac{k}{n} \right) \right) $からひいた接線の方程式は
$\displaystyle y-f\left( \frac{k}{n} \right) = f’\left( \frac{k}{n} \right) \left(x-\frac{k}{n} \right) $
この接線上の$\displaystyle x=\frac{k-1}{n} $のときのyの値は
$\displaystyle f\left( \frac{k}{n} \right) + f’\left( \frac{k}{n} \right) \left( \frac{k-1}{n}-\frac{k}{n} \right) $
となるので
$\displaystyle X= -\frac{1}{n} f’\left( \frac{k}{n} \right) $

オレンジの面積は
$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \left\{ f\left( \frac{k-1}{n} \right) - f\left( \frac{k}{n} \right) \right\} $
青の面積は
$\displaystyle \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) dx $
緑の面積は
$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} X= -\frac{1}{2n^2} f’\left(\frac{k}{n}\right) $

よってk=1からnまでの和をとると
オレンジの面積は
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n} \left\{ f\left( \frac{k-1}{n} \right) -f\left( \frac{k}{n} \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{2n} \left\{ f(0) - f(\frac{1}{n}) + f(\frac{1}{n}) - f(\frac{2}{n}) + \cdots + f(\frac{n-1}{n}) - f(1) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{2n} \left\{ f(0)-f(1) \right\} = \frac{1}{24n} $
青の面積は
$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \alpha- \frac{n^2}{3n^2+k^2} \right) $
緑の面積は
$ \displaystyle -\frac{1}{2n^2} \sum_{k=1}^n f’\left( \frac{k}{n} \right) $

よってn倍してn→∞の極限をとると

オレンジは$\displaystyle \frac{1}{24} $
青は求める極限
緑は
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} -\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n f’\left( \frac{k}{n} \right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{2} \int_0^1 f’(x)dx \\ = \displaystyle -\frac{1}{2} \left\{ f(1)-f(0) \right\} = \frac{1}{24} $
ハサミウチの原理より求める極限は$ \displaystyle \frac{1}{24} $

正解者：0名

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