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上野竜生です。問136の答えを発表します。

問136

(1)\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{3n^2+k^2}=\alpha \)とする。\(\alpha \)を求めよ。
(2)\( \alpha \)は(1)で求めた値とする。
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\alpha- \frac{n^2}{3n^2+k^2} \right) \)を求めよ。

 

答え

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+3} \)とする。
(1)\(\displaystyle \alpha=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{3+(\frac{k}{n})^2} \)
なので区分求積法より求めるものは
\(\displaystyle \int_0^1 f(x)dx \)である。
\( x=\sqrt{3}\tan{\theta} \)とおくと\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}= \frac{\sqrt{3}}{\cos^2{\theta}} \)なので
\(\displaystyle \alpha=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3(\tan^2{\theta} +1)} \cdot \frac{\sqrt{3} d\theta }{\cos^2{\theta}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \int_0^{\frac{\pi}{6}} d\theta= \frac{\sqrt{3} \pi}{18} \)

(2)
\( y=f(x) \)のグラフを考える。
\(\displaystyle f’(x)=\frac{-2x}{(x^2+3)^2} \)
\(\displaystyle f’’(x)=\frac{-2(x^2+3)^2+2x\cdot 2 \cdot 2x \cdot (x^2+3)}{(x^2+3)^4} \\ \displaystyle = \frac{-2x^2-6+8x^2}{(x^2+3)^3}= \frac{6(x-1)(x+1)}{(x^2+3)^3} \)
よって0<x<1でf’(x)<0かつf’’(x)<0なのでy=f(x)は0<x<1で単調減少かつ上に凸である。

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( \alpha- \frac{n^2}{3n^2+k^2} \right) \\ =\displaystyle n\left\{ \alpha-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot f\left( \frac{k}{n} \right) \right\} \)
なので\(\displaystyle \alpha-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot f\left( \frac{k}{n} \right) \)
は下のグラフの青い部分である。

区分求積の誤差

このうち\(\displaystyle \frac{k-1}{n} \leq x \leq \frac{k}{n} \)の部分を取り出すと次のような不等式が成立する

区分求積の誤差

オレンジの面積<青の面積<緑の面積

ここで緑の三角形の高さXを求める。
\( y=f(x) \)上の点\(\displaystyle \left( \frac{k}{n} , f\left( \frac{k}{n} \right) \right) \)からひいた接線の方程式は
\(\displaystyle y-f\left( \frac{k}{n} \right) = f’\left( \frac{k}{n} \right) \left(x-\frac{k}{n} \right) \)
この接線上の\(\displaystyle x=\frac{k-1}{n} \)のときのyの値は
\(\displaystyle f\left( \frac{k}{n} \right) + f’\left( \frac{k}{n} \right) \left( \frac{k-1}{n}-\frac{k}{n} \right) \)
となるので
\(\displaystyle X= -\frac{1}{n} f’\left( \frac{k}{n} \right) \)

オレンジの面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \left\{ f\left( \frac{k-1}{n} \right) - f\left( \frac{k}{n} \right) \right\} \)
青の面積は
\(\displaystyle \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) dx \)
緑の面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} X= -\frac{1}{2n^2} f’\left(\frac{k}{n}\right) \)

よってk=1からnまでの和をとると
オレンジの面積は
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n} \left\{ f\left( \frac{k-1}{n} \right) -f\left( \frac{k}{n} \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{2n} \left\{ f(0) - f(\frac{1}{n}) + f(\frac{1}{n}) - f(\frac{2}{n}) + \cdots + f(\frac{n-1}{n}) - f(1) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{2n} \left\{ f(0)-f(1) \right\} = \frac{1}{24n} \)
青の面積は
\(\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \alpha- \frac{n^2}{3n^2+k^2} \right) \)
緑の面積は
\( \displaystyle -\frac{1}{2n^2} \sum_{k=1}^n f’\left( \frac{k}{n} \right) \)

よってn倍してn→∞の極限をとると

オレンジは\(\displaystyle \frac{1}{24} \)
青は求める極限
緑は
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} -\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n f’\left( \frac{k}{n} \right) \\ \displaystyle = -\frac{1}{2} \int_0^1 f’(x)dx \\ = \displaystyle -\frac{1}{2} \left\{ f(1)-f(0) \right\} = \frac{1}{24} \)
ハサミウチの原理より求める極限は\( \displaystyle \frac{1}{24} \)

 

正解者:0名

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