今週の問題　問122　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問122の答えを発表します。

問122　★

x,yを自然数とする。
(1)$x^5-x $は30の倍数であることを示せ。
(2)$ x^5 y - xy^5 $は30の倍数であることを示せ。
[熊本大学]

答え

(1)$ x^5-x= x(x-1)(x+1)(x^2+1) $
ここでx(x-1)(x+1)は連続3整数の積なので6の倍数。
さらに
$ x^5-x= x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)+5x^3-5x $
であり，x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)は連続5整数の積だから5の倍数で，$ 5x^3-5x $も5の倍数だから$ x^5-x $は5の倍数。
以上より$ x^5-x $は30の倍数である。

(2)$ x^5-x , y^5-y $はともに30の倍数だから
$ x^5-x=30N , y^5-y=30M $（N,Mは整数）とおける。つまり，
$ x^5=30N+x , y^5=30M+y $だから
$ x^5 y - xy^5 = (30N+x)y-x(30M+y)=30(Ny-Mx) $
となり，30の倍数。

正解者：1名（古春さま）

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