今週の問題　問121　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問121の答えを発表します。

問121　★

以下の問に答えよ。必要に応じて
$2^{22}=4194304$，特に$2^{22}$と$2^2$の下2ケタが一致することを利用してよい。
(1)$2^{123}$の下2ケタを求めよ。
(2)$122^{123}$の下2ケタを求めよ。
(3)$ 121^{(122^{123})} $の下3ケタを求めよ。

答え

(1)100を法とする剰余類で考える。
$ 2^{123}≡2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 2^{13} \\ ≡2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^{13} \\ ≡2^{23}≡2\cdot 2^{22} \\ ≡ 2\cdot 2^{2} ≡8$
よって100で割った余りが8だから下2ケタは08。
(2)$ (100+22)^{123} $を二項定理で展開することにより下2ケタは$ 22^{123} $の下2ケタと一致する。
$ 22^{123}=2^{123} \cdot 11^{123} $
である。(1)より$2^{123} $の下2ケタは08。また
$ (10+1)^{123} $を二項定理で計算すると下2ケタは31なので$ 22^{123}$の下2ケタは48。
(3)$ 122^{123}=100m+48 $とおくと
$ 121^{100m+48} =11^{200m+96} =(10+1)^{200m+96} $
よって下3ケタは二項定理で展開したときの最後の3項だけで決まるので
$ {}_{200m+96}C_2 10^2 + (200m+96) 10 + 1 $
の下3ケタに等しい。それぞれの項を計算すると
$ (100m+48)(200m+95)\cdot 100 + 2000m+960+1 \\ = 1000(2000m^2 +960m+950m+2m)+(48 \cdot 95 \cdot 100+961)$
なので下3ケタは最後の( )の中の下3ケタと等しい。
48×95×100は1000の倍数なので，下3ケタは961。

正解者：0名

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>