三角形の面積の三角比を用いた公式

2辺の長さがa,bでその間の角がθである三角形の面積をSとするとき
\( S=\frac{1}{2} ab \sin{\theta} \)

答え\(\displaystyle  S=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin{45°}=\frac{21\sqrt{2}}{2}\)

答えAB=13 , AC=14 , BC=15とする。余弦定理より

\( \displaystyle \cos{A}=\frac{13^2+14^2-15^2}{2\cdot 13 \cdot 14}=\frac{140}{2\cdot 13 \cdot 14}=\frac{5}{13} \)

三角関数の相互関係より\(\displaystyle \sin^2{A}=\frac{144}{169} \)

sinA＞0だから\(\displaystyle \sin{A}=\frac{12}{13} \)

よって面積は

\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot  13 \cdot 14 \cdot \sin{A}=84 \)

答え∠A=θとおく。四角形ABCDは円に内接するから向かい合う角の和は180°であり，∠C=180°-θ

△ABDにおいて余弦定理より

BD²＝AB²+DA²-2AB・DA・cosθ=5-4cosθ

△CBDにおいて余弦定理より

BD²=BC²+CD²-2BC・CD・cos(180°-θ)=145+144cosθ

よって

5-4cosθ=145+144cosθとなりcosθ=\( -\frac{35}{37} \)

sinθ>0だから三角関数の相互法則より\(\sin{\theta}=\frac{12}{37} \)

よって△ABDの面積は

\( \frac{1}{2} AB \cdot DA \sin{\theta} = \frac{12}{37} \)

△CBDの面積は

\( \frac{1}{2} BC \cdot CD \sin{(180°-\theta)}=\frac{12\cdot 36}{37} \)

よって四角形ABCDの面積=△ABD+△CBD=12

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