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上野竜生です。今回は角の二等分線と線分比の公式を紹介します。外角バージョンも紹介します。
角の二等分線の性質
図においてAD,AFは∠BAC,∠CAEの二等分線である。このとき
(1) AB:AC=BD:CD
(2) AB:AC=BF:CF
[証明]
三角形ABDと三角形ACDの面積比はBD:CD（∵底辺の比）
∠BAD=∠CAD=θとすると
三角形ABDの面積は\(\frac{1}{2}\)AB・ADsinθ
三角形ACDの面積は\(\frac{1}{2}\)AC・ADsinθ
よって三角形ABDとACDの面積比はAB:AC
以上よりAB:AC=BD:CD
後半
三角形ACF:三角形ABF=CF:BF
∠CAF=∠EAF=φとすると
三角形CAFの面積は\(\frac{1}{2}\)AC・AFsinφ
三角形ABFの面積は\(\frac{1}{2}\)AB・AFsin(180°-φ)
sin(180°-φ)=sinφなので
三角形CAF:三角形ABF=AC:AB
よってCF:BF=AC:AB
比較的証明が簡単なので忘れても復元できるようにしましょう。（特に外角のほうは忘れがち）
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例題
AB=15,BC=14,CA=13の三角形の∠Aの二等分線とBCの交点をDとする。BAの延長線上に点Eを，B,A,Eの順になるようにとり∠CAEの二等分線とBCの交点をFとする。
(1)BDを求めよ。
(2)CFを求めよ。
答え(1)角の二等分線の性質よりBD:CD=AB:AC=15:13
よってBD=\(14 \times \frac{15}{28}=\frac{15}{2} \)
(2)角の二等分線の性質よりBF:CF=AB:AC=15:13
よってCF=\(14 \times \frac{13}{2} = 91 \)
よってBD=\(14 \times \frac{15}{28}=\frac{15}{2} \)
(2)角の二等分線の性質よりBF:CF=AB:AC=15:13
よってCF=\(14 \times \frac{13}{2} = 91 \)
外角バージョンはほぼ出題されないので内角バージョンをしっかり押さえておきましょう。
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