極限・微分の定義・公式(数II)

上野竜生です。今回は数IIの微分をするための基本的な極限と基本的な微分を学びます。普通の文系の人なら途中理解できなくても最後の微分だけできればいいかと思います。仕組みがわからなくても機械的に微分できるので最低限そこだけできるようにしましょう。

x→aのときf(x)がAに限りなく近づくなら\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=A \)とかく。

これを極限という。「限りなく近づく」があいまいです。厳密な定義は大学でやるのですが，理解が難しい上に高校範囲では直感的に「限りなく近づく」で十分なのでこのように定義します。数学的に正確に定義できる考えなので厳密性は特に問題ありません。とりあえず認めましょう。ただし，極限を使った公式や定理などの証明は高校範囲ではできません（極限の厳密な定義が範囲外のため。よって証明はテストにも出題できず極限の定理などの証明は暗記不要）

数IIIになるといろいろな極限を習いますが数IIの範囲で知ってほしいことは2つ＋オマケ2つ

オマケ

単純にx=1を代入すると分母が0になります。分子も0にならないと不定形にならず，極限が有限の値にはなりません。なので分子も0に近づくことがわかります。厳密には数IIIで習います（そもそも極限の厳密の定義は大学で習います）ので数IIでは厳密性をちょっと無視して割と直感的に分子は0じゃないといけないと理解するだけで十分です。証明が厳密じゃないだけで結果は厳密に正しいです。

最初のa,bの式では因数分解できるかどうかもわかりませんが分子→0からbを消去すれば必ず因数分解できる形になることを意識しましょう。

関数f(x)がx=aからx=a+hまで増えた時の平均変化率は次の通り

\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} \]

x=aにおけるf(x)の微分はこれのh→0の極限，つまり

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

で表し，これをf'(a)とかく。

また，同様にすると

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

となり，これを導関数という。

\( f(x)=x^n \)のとき

\( \displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n -x^n}{h} \)

ここで二項定理から

\( (x+h)^n-x^n = n x^{n-1}h + g(x,h) h^2 \)

とかける。（g(x,h)は二項定理の残りの項。具体的には

g(x,h)=\( {}_n C_2 x^{n-2} + {}_nC_{3} x^{n-3}h + \cdots + {}_n C_n h^{n-2} \)）

よって

\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h + g(x,h)h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (nx^{n-1} +g(x,h)h) = nx^{n-1} \)

（∵h→0なら第2項は0に近づく）

よってf(x)=xⁿの導関数は\(f'(x)=nx^{n-1}\)

これは微分の公式として覚えておきましょう。

その他の微分の公式を下にまとめています。極限がわからなかった人もとにかく下のポイントだけ理解しましょう。

注：(2)でt=2x+1とおくとf(x)=t³だから微分して3t²=3(2x+1)²
とはならない。正確には数IIIで合成関数の微分として習います。
参考：誤答例の下線部「微分して」というのがtでの微分なので，今回のようにxで微分するのとは少しズレが生じます。どれだけズレるかを計算することができるのでそれを補正すると正しくなります。この例だとズレはちょうど2倍です。「2」という数字はt=2x+1の左辺をxで微分した値と等しいのです。これが合成関数の微分です。