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上野竜生です。今回は文字係数の二次不等式や絶対値もついているタイプを扱い,さらに応用問題として整数解の個数問題の考え方も紹介します。このあたりはできれば教えられなくても自分で考えて求めてほしいところですが,今回は丁寧に紹介します。

例題

aを定数とする。
\( x^2-(a+2)x+2a < 0 \)・・・①
\(x^2+4 \geq 5|x|\)・・・②
がある。
(1)①を解け。
(2)②を解け。
(3)①と②の両方を満たす整数xの個数がちょうど6個となるような定数aの範囲を求めよ。

まずは不等式を解きましょう。解の公式(または因数分解)で解を求めた後,その「間」なのか「外側」なのかを判断します。絶対値がついている場合は基本に忠実に絶対値の中の正負で場合分けしましょう。

答え(1)①を因数分解すると
\((x-2)(x-a) < 0 \)
よって2とaの間であるから解は
a>2のとき2<x<a
a=2のとき実数解なし
a<2のときa<x<2
(2)\( x^2-5|x|+4\geq 0 \)
x≧0のとき\( x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\geq 0 \)
∴x≦1またはx≧4
x≧0より0≦x≦1またはx≧4
x<0のとき\( x^2-5(-x)+4=(x+1)(x+4)\geq 0 \)
∴x≦-4またはx≧-1
x<0よりx≦-4または-1≦x<0
以上を合わせると
x≦-4または-1≦x≦1またはx≧4
「6つの整数解」が具体的にわかるのでまずそれを求めます。ちょうど6つということは6番目の解はもつが,7番目の解はもたないということです。7番目の解も見つけておいてそれをもたない条件も考えないといけません。
(3)a=2のときは①の解がないので不適。
2次不等式の範囲
a>2のとき「6つの整数解」はx=4,5,6,7,8,9である。
つまりx=9を解にもつがx=10は解に持たない条件を調べればよい。
①にx=9を代入するとa>9
①にx=10を代入するとa>10 ∴a>10は不適なのでa≦10も必要。
まとめると9<a≦10
a<2のとき「6つの整数解」はx=1,0,-1,-4,-5,-6である。
同様にすると-7≦a<-6
よって-7≦a<-6または9<a≦10である。

今回だと
ちょうど6個⇔6個以上もつけど7個以上はもたない
ということを新たに教えました。こういう発想は教科書で丁寧には書かれていないかもしれません。しかし教科書に載っていなくてもこういう発想をしていかないといけないのです。
最近は思考力を重視しているのでこういう教科書にはないひらめきも自分で見つけていけるようにしていくことが大切です。

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