資格(数検1級など)

上野竜生です。今回は広義積分の一様収束と順序交換を学びます。「順序交換をしていいか確認」「順序交換していいことは認めたうえで結論を導く」の２つの難所がありますがどちらもなかなか手強く，かなり難しいです。 今回の議論では領 […]

上野竜生です。今回は2変数関数の合成関数の微分を覚えましょう。 証明をするとすこし厄介なので教科書に任せて，結果と適用を中心に慣れていきましょう。 合成関数の微分 1変数のとき(復習) z=f(x)とx=g(t)の合成関 […]

上野竜生です。2変数のテイラー展開を紹介します。1変数の時よりある意味では難しいけどある意味では簡単です。 テイラー展開 関数f(x,y)は(a,b)の近傍でC2級とする。このとき，その近傍内の任意の点(x,y)に対して […]

上野竜生です。今回は2変数関数以上での極値の求め方を紹介します。ヘッセ行列というのを新たに習うのでこれをしっかり理解しましょう。 1変数の時の極大・極小の求め方（復習） step1 f'(x)=0となるxを求める。以下そ […]

上野竜生です。今回は偏微分を扱います。 偏微分の定義 yを定数と思って固定してxのみで微分したもの \[ \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \] を偏微分といい，\(\dis […]

上野竜生です。今回は2変数関数の極限の計算ができるようにします。1変数よりかなり複雑です。 2変数の極限の定義 任意のε>0に対しあるδ>0が存在し \( 0< || \vec{x}-\vec{a} | […]

上野竜生です。直交行列など特殊な行列の対角化を扱います。 実対称行列の対角化 ＜復習＞対称行列とはAt=Aを満たす正方行列のこと。特にAの成分が実数ならば実対称行列という。 POINT実対称行列は次の性質が成り立つ ①固 […]

上野竜生です。今回は広義積分の計算と収束・発散の判定を扱います。計算はほぼ高校と同じですぐわかると思うのでほとんど高校の復習です。 広義積分とは \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x}d […]

上野竜生です。今回は逆行列の計算方法を扱います。 逆行列とは Aを正方行列とする。AB=E(単位行列)になるものが存在するときBをAの逆行列と言い，A-1で表す。 注意 ・逆行列は必ずしも存在するとは限らない。 （逆行列 […]

上野竜生です。今回はテイラー展開とマクローリン展開について紹介します。 テイラー展開 テイラーの定理 関数f(x)は点aを含む開区間Iでn回微分可能であるとする。このとき任意のx∈Iに対して，あるθ(0<θ< […]

上野竜生です。arctanxのn回微分(n階微分)って求めるのが大変ですよね。私も大学1年生の時は苦しみました。そこでその部分だけで1ページ使って紹介します。あまりテストのための参考ページではないのでテストのためだけに数 […]

上野竜生です。今回は逆三角関数の微分を紹介します。逆関数の微分を高校でもやってるはずなのでそれと同じですが，大学では結果の暗記も必要です。 arcsinxの微分 逆関数の微分を使う。y=arcsinx⇔x=sinyなので […]

上野竜生です。今回は行列の転置と対称行列・交代行列の定義を扱います。 転置行列 m×n行列Aに対し，行と列を入れ替えて出来るn×m行列をAの転置行列と言い，tAとかく。 例：\(A = \left( \begin{arr […]