今週の問題

上野竜生です。問68の答えを発表します。 問68　★★ aは定数で3次方程式\( x^3-6x^2+9x-a=0 \)は異なる3つの正の実数解\(\alpha,\beta,\gamma\)をもつとする。 (1)　\([\ […]

上野竜生です。問67の答えを発表します。 問67　★ 図のような縦12cmの箱がある。この箱の中に半径1cmの円をたくさん詰めることを考える。詰め方は次のパターンA・Bのどちらかであるとする。 【パターンA】　下の図１の […]

上野竜生です。問66の答えを発表します。 問66　★ 自然数n,mを用いて 202n+10mの形で表すことができない自然数のうち2020以下のものはいくつあるか？   答え まず202n+10m=2(101n+ […]

上野竜生です。問65の答えを発表します。 問65　★ 次の空欄に当てはまる整数を答えよ。 9を99個ならべそのあとに89と続く整数 999999999・・・999989をAとする。\(\frac{1}{A}\)を小数で表 […]

上野竜生です。問64の答えを発表します。 問64　★ \( 0\leq x < 2\pi , 0 \leq y <2\pi \)の範囲で次の連立方程式の解の組(x,y)は全部で何個あるか？ \(\begin{ […]

上野竜生です。問63の答えを発表します。 問63　★ \( \displaystyle y=x+\sqrt{1-x^2} \)は楕円の一部である。この楕円の2つの焦点をF,F'とする。 (1) 直線FF'の傾きを求めよ。 […]

上野竜生です。問62の答えを発表します。 問62　★ 正八面体O-ABCD-O'がある。（正方形ABCDの上にO,下にO') \(a=\vec{OA} , b=\vec{OB} , c=\vec{OC} \)とする。 \ […]

上野竜生です。問61の答えを発表します。 問61　★ すべての目が出る確率が等しいサイコロを用いて次のようなゲームをおこなう。次の空欄に当てはまる値を答えよ。 (step1)　サイコロを1回ふり，出た目を仮の得点とする。 […]

上野竜生です。問60の答えを発表します。 問60　★ aを実数の定数とする。xについての4次方程式 (x2-ax+2a+1){x2+(a-4)x-(4a-5)}=0 が異なる4つの解をもち，かつ複素数平面上でそれら4つの […]

上野竜生です。問59の答えを発表します。 問59　★ 正の奇数から始まる連続5整数の積は平方数ではないことを示せ。 ただし問58の結果は用いてよい。 【参考】問58の結果：　nを3以上の整数とするとき(n2-1)(n2- […]

上野竜生です。問58の答えを発表します。 問58　★ 3以上の自然数nに対して (n2-1)(n2-4) は平方数ではないことを示せ。   答え 3以上の自然数nに対して (n2-3)2 < (n2-1) […]

上野竜生です。問57の答えを発表します。 問57　★ 集合U={a,b,c,d,e}がある。 Uから異なる部分集合を11個とりそれらをB1,B2,・・・,B11とする。 このとき必ずBi⊂Bjとなるようなi,j（i≠j) […]

上野竜生です。問56の答えを発表します。 問56　★ 次の空欄ア～スに整数（1ケタとも正とも限らない）を入れて文章を完成させよ。 1辺がaの正七角形ABCDEFGにおいてAC=b,AD=cとおく。 \(\displays […]

上野竜生です。問55の答えを発表します。 問55　★ 円x2+(y-1)2=1の円周上に点A(0,0)とB,C,D,E,F,G,H,I,J,K,Lを，十二角形ABCDEFGHIJKLが正十二角形となるようにとる。正十二角 […]

上野竜生です。問54の答えを発表します。 問54　★ AB=14,BC=16,CA=18の三角形ABCの∠Aの二等分線をひき，BCとの交点をMとする。 直線AM上にAP=x,AQ=xとなる点P,Qをとる。ただしPはAから […]