無理方程式・無理不等式の解法
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上野竜生です。今回は無理方程式や無理不等式の解法を紹介していきます。 方程式を解くときの基本 \(\sqrt{A}=B \)などを解くとき両辺を2乗して解の候補を求めたあと、その解を元の式に代入して確かめる […]
2次試験対策
逆関数の定義・求め方
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上野竜生です。今回は逆関数の定義や求め方を学習します。 定義 y=f(x)をx=f-1(y)の形に式変形するときf-1をfの逆関数という。 つまりy=f(x)⇔x=f-1(y) そもそも関数というのはxの値 […]
合成関数の定義・求め方
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上野竜生です。今回は合成関数の定義や求め方について紹介していきたいと思います。 定義 f(x)の値域がg(x)の定義域に含まれているとき y=g(f(x))を考えることができる。これをfとgの合成関数と言い […]
楕円は円のy軸方向の拡大。しかし落とし穴が
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上野竜生です。楕円は円をy軸方向（もしくはx軸方向）のみに拡大して得られるものです。それを利用すると便利なこともあるのですが落とし穴もあります。しっかり理解しましょう。なおここでは楕円と円の関係に絞って解説していくので焦 […]
Pから楕円にひいた2つの接線が直交するときの軌跡(楕円の準円)
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上野竜生です。楕円の外にある点Pから楕円には2つの接線が引けますが，その接線が直交するような点の軌跡を求めてみましょう。かなり難しいです。 問題 点P(X,Y)から楕円\(\displaystyle \frac{x^2} […]
実数解と虚数解で扱いを変えよ！
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上野竜生です。方程式の解の問題では実数解か虚数解かで性質が異なります。それを利用した問題を解いてみましょう。 2次方程式x2+sx+t=0の2つの解をα,βとする。 |α|+|β|=2となるような実数(s,t)の範囲を図 […]
1のn乗根に関する問題
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上野竜生です。1のn乗根に関する問題を紹介します。 [ポイント] 1のn乗根のうち1でないものの1つをαとする。 つまりαn=1,α≠1 αn=1⇔αn-1=0⇔(α-1)(αn-1+αn-2+・・・+α2+α+1)=0 […]
z^n=αを複素数の範囲で解く
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上野竜生です。今回は複素数の比較的シンプルな方程式\(z^n=\alpha \)の解き方を紹介します。 解法 \(z^n=\alpha \)のタイプの方程式は極形式にすれば比較的簡単に解ける。 つまり\( z=r(\co […]
一般の方程式の実数解の個数(定数分離)
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上野竜生です。一般の場合に実数解の個数を求める問題で，特に定数分離でできるものを取り扱います。 基本は3次方程式の解の個数の記事をご覧ください。 例題 3次方程式x3-3(a+3)x2+36ax-72a=0 […]
定積分の不等式の証明
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上野竜生です。定積分の値を具体的に求めるのではなく「○以上であることを証明せよ」といった出題もあります。このタイプはアイデアはわかりやすいですが具体的にどうするかは非常に難しく経験も必要です。 アイデア 基本は \(g( […]
不等式が常に成り立つ条件
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上野竜生です。不等式が常に成り立つようなaの範囲を求める問題を紹介します。２パターンありますよ。 証明方法 １ （左辺）－（右辺）の最小値[最大値]を求め、それと0との大小を比較する。 ２ aを定数分離し、残った部分のグ […]
ベクトルを使った三角形の面積
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上野竜生です。三角形の面積の公式を導出します。ベクトルの内積を使った式と，そこから成分を代入して得られる平面座標での公式も計算します。 三角形の面積の公式 O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2)と […]
位置ベクトルとは？内分・外分の位置ベクトル
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上野竜生です。位置ベクトルとは何か？と基本的な位置ベクトルについて紹介します。 位置ベクトルとは 任意に点Oをとったとき\(\vec{p}=\vec{OP} \)をOに関する位置ベクトルという。 細かい意味はあとで行うと […]
2点が一致する条件・3点が一直線上にある条件
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上野竜生です。共点条件(2点が一致する条件)と共線条件(3点が一直線上にある条件)をベクトルで表現しましょう。 共点条件（2点が一致する条件） 2点AとBが一致する ⇔ AとBの位置ベクトルが等しい もし「AとBが一致す […]