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上野竜生です。今回は複素数の比較的シンプルな方程式\(z^n=\alpha \)の解き方を紹介します。
解法
\(z^n=\alpha \)のタイプの方程式は極形式にすれば比較的簡単に解ける。
つまり\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) (r>0 , 0\leq \theta < 2\pi)\)とおくと，ドモアブルの定理などから
\( z^n=r^n (\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) \)となる。
あとは右辺のαも極形式\(\alpha= r'(\cos{\theta'}+i\sin{\theta'}) \)の形にすると
\( r^n=r' , n\theta=\theta'+2\pi k \)の形にかける。
ここでrはr>0の実数だから単純に\( r= \sqrt[n]{r'} \)としてよいし，\( 0 \leq \theta < 2\pi \)にするとkは有限個（特にn個）に定まるので
rとθを求め，それをもとの\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) \)に代入すれば答えが得られるというわけです。
\( z^n=r^n (\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) \)となる。
あとは右辺のαも極形式\(\alpha= r'(\cos{\theta'}+i\sin{\theta'}) \)の形にすると
\( r^n=r' , n\theta=\theta'+2\pi k \)の形にかける。
ここでrはr>0の実数だから単純に\( r= \sqrt[n]{r'} \)としてよいし，\( 0 \leq \theta < 2\pi \)にするとkは有限個（特にn個）に定まるので
rとθを求め，それをもとの\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) \)に代入すれば答えが得られるというわけです。
具体的な問題で見てみましょう。例題２のように右辺が複素数になっている場合も重要です。
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例題１
\(z^6=1 \)を解け。
解法１ 極形式にする
答え\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) (r>0 , 0\leq \theta < 2\pi)\)とおく。
\( z^6=r^6(\cos{6\theta}+i\sin{6\theta})=1=1(\cos{0}+i\sin{0}) \)
よって\(r^6=1 , 6\theta=2\pi n \)(nは整数)
r>0より\(r=1 , \theta=\frac{n \pi}{3} \)
\( 0 \leq \theta < 2\pi \)よりn=0,1,2,3,4,5
これを代入すると\(z=\cos{\frac{n \pi}{3}}+i\sin{\frac{n \pi}{3}} \)
n=0,1,2,3,4,5をそれぞれ代入すると
\(\displaystyle z=1, \frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2},-1 , \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} , \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\)
\( z^6=r^6(\cos{6\theta}+i\sin{6\theta})=1=1(\cos{0}+i\sin{0}) \)
よって\(r^6=1 , 6\theta=2\pi n \)(nは整数)
r>0より\(r=1 , \theta=\frac{n \pi}{3} \)
\( 0 \leq \theta < 2\pi \)よりn=0,1,2,3,4,5
これを代入すると\(z=\cos{\frac{n \pi}{3}}+i\sin{\frac{n \pi}{3}} \)
n=0,1,2,3,4,5をそれぞれ代入すると
\(\displaystyle z=1, \frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2},-1 , \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} , \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\)
解法２ 因数分解する
答え\(z^6-1=(z^3+1)(z^3-1)=(z+1)(z-1)(z^2+z+1)(z^2-z+1)=0 \)より
\(\displaystyle z=\pm 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} , \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)（複号任意）
\(\displaystyle z=\pm 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} , \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)（複号任意）
今回は因数分解でも良いのですが極形式にするやり方は必ず身につけましょう。次の例題もご覧ください。
例題２
\(z^4= -2+2\sqrt{3} i \)を解け。
答え\( z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) (r>0 , 0\leq \theta < 2\pi)\)とおく。
\( z^4=r^4(\cos{4\theta}+i\sin{4\theta})=-2+2\sqrt{3}i=4(\cos{\frac{2}{3}\pi}+i\sin{\frac{2}{3}\pi}) \)
よって\(r^4=4 , 4\theta=2\pi n+\frac{2}{3}\pi \)(nは整数)
r>0より \(r=\sqrt{2} , \theta=\frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{6} \)
\( 0 \leq \theta < 2\pi \)よりn=0,1,2,3
これを代入すると
\(\displaystyle z=\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{7\pi}{6}}+i\sin{\frac{7\pi}{6}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}} \right) \)
\(\displaystyle = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{2}, \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}i}{2} , \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2}, \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}i}{2}\)
\( z^4=r^4(\cos{4\theta}+i\sin{4\theta})=-2+2\sqrt{3}i=4(\cos{\frac{2}{3}\pi}+i\sin{\frac{2}{3}\pi}) \)
よって\(r^4=4 , 4\theta=2\pi n+\frac{2}{3}\pi \)(nは整数)
r>0より \(r=\sqrt{2} , \theta=\frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{6} \)
\( 0 \leq \theta < 2\pi \)よりn=0,1,2,3
これを代入すると
\(\displaystyle z=\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{7\pi}{6}}+i\sin{\frac{7\pi}{6}} \right) , \sqrt{2}\left(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}} \right) \)
\(\displaystyle = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{2}, \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}i}{2} , \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2}, \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}i}{2}\)
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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