各点収束と一様収束の違い

上野竜生です。各点収束と一様収束の違いは大学数学では結構重要です。似ているので紛らわしいところでもあります。特に数学書では重要事項や性質がでるたびすぐに証明が始まるので性質1と性質2が離れたページにあり,性質をまとめたものが見つかりにくいと思います。ここでは証明は割愛または最小限にとどめて具体的な問題が解けるように最速で紹介したいと思います。

各点収束と一様収束

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定義

関数列fn(x)がf(x)に各点収束するとは定義域内すべての点でfn(x)→f(x)に収束することである。
(たぶんこの分野初見の人が「関数列の収束の定義」といってごく普通に思い浮かぶ定義だと思います。もちろんこれは収束の定義として正しいのですが数学上の性質としてこれではちょっと扱いづらいのでもう少し強い条件も学びます。それが一様収束です。)

関数列fn(x)がf(x)に一様収束するとは|fn(x)-f(x)|の最大値(「最大」だと存在しないこともあるので正確にはsup)が0に収束することである。

人によって感じ方は違うでしょう。全然違うじゃないか!と思う人,確かにちょっと違うね,と思う人,同値じゃないの?って思う人いろいろいるでしょう。その点をもう少し解説します。

論理記号などで書くとこうなります。

各点収束:∀ε>0 ∀x(定義域内) ∃N n≧N⇒|fn(x)-f(x)|<ε

一様収束:∀ε>0 ∃N ∀x(定義域内) n≧N⇒|fn(x)-f(x)|<ε

イプシロンデルタ論法でも示した通り∃Nの位置が重要です。

各点収束では先にxが出てからNを決めることができますのでNはxの式でもOKだし,xを使わない定数などでもOKです。
一様収束ではxを見る前にNを決める必要がありますのでNはxの式ではNGです。

ということで次が成り立ちます。

<性質1>
一様収束のほうが条件は厳しい。
(一様収束すれば各点収束する。各点収束しても一様収束とは限らない)

さらにいうと一様収束の証明をするときのf(x)は各点収束の収束先の関数と仮定しても問題ないということになります。(各点収束のときの収束した関数f(x)とは異なる関数g(x)に一様収束すると仮定すると今の定義からg(x)に各点収束することになるがfn(x)はf(x)に各点収束しているので矛盾)

残りの性質は主張だけ述べます。基本的に一様収束じゃないと言えないのがポイントです。

<性質2> ワイエルシュトラスのM判定法

関数列fn(x)が|fn(x)|≦Mnとなる定数Mnが存在して
ΣMnが収束すればΣfn(x)は一様収束 (よって各点収束もする)

もちろんxに定義域があればその定義域内でMnが存在すればいいですし,Σはn=1から∞の和と考えるのが普通です。

<性質3> 閉区間で連続な関数列fn(x)がf(x)に一様収束すればf(x)は連続

これはむしろ一様収束しないほうの証明でよく用いられます。これまでの定義と対偶を考えると「各点収束の収束した関数が連続でなければ一様収束はしていない」ということになります。

<性質4> 一様収束⇒順序交換可能

・極限と積分の順序交換

・微分と和の極限の順序交換(項別微分)

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx}f_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_n'(x) \)
もちろんこの場合の一様収束は右辺のΣfn‘(x)が一様収束です。
・積分と和の極限の順序交換(項別積分)

\( \displaystyle \int_a^b \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n(x) dx \)

もちろんこの場合の一様収束は左辺の被積分関数Σfn(x)が一様収束です。

このあたりは「順序交換さえできれば簡単なのになぁ・・・」という問題でよく見かけます。とりあえず順序は交換できると認めて先に進んでおき,最後に順序交換を示すと良いでしょう。(答案には順序交換はあとで示すので先にそれを認めて解答していることを明記しましょう)

なお,各点収束では一般に順序は交換できません。

例題

例題1:関数列fn(x)=xn(0≦x≦1)について考える。
(1) この関数列は各点収束することを示せ。
(2) この関数列は一様収束しないことを示せ。
答え(1)等比数列の公式よりx=1ではfn(x)→1,0≦x<1ではfn(x)→0に収束するから
\( f(x)=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0 (0\leq x <1) \\ 1 (x=1) \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
に各点収束する。(2) (1)のf(x)は連続ではないので一様収束はしない。
[ちなみに\( x=1-\frac{1}{n} \)などを考えると定義通りに一様収束しないことが示せます。]

例題2:関数列fn(x)=nxe-nx(x≧0)について考える
(1) この関数列は各点収束することを示せ。
(2) この関数列は一様収束しないことを示せ。

(1)は普通に極限を考えれば0に収束することがわかります。(2)では0との誤差の最大値を計算(つまり微分して増減表をかく)し,それをn→∞にしたときの極限が0になるかを見ます。

答え(1)fn(0)=0 , x>0をみたすどんなxに対してもnを十分大きくとればnx→∞で
(nx)e-(nx)→0だからfn(x)→0よってfn(x)→0に各点収束する。
(2) fn‘(x)=ne-nx-n2xe-nx=n(1-nx)e-nxとなるので増減表を書くとx=1/nで最大となることがわかる。fn(1/n)=e-1となりn→∞で0に収束しないから一様収束しない。

この例でわかるように各点収束したものが連続でも一様収束とは限りません。

ややこしいですが順序交換は解析の基礎なのでこれらの違いを理解しましょう。数学系の分野の人は絶対、それ以外の理系もできれば知っておきたいです。

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