上野竜生です。問９の答えを発表します。
問９
三辺の長さが13,14,15の三角形の重心をG，内心をIとおく。IGの長さを求めよ。
答え
下の図のようにOA=14,OB=15,AB=13とし，\( \vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b} \)とする。
\( \vec{OG} , \vec{OI}\)はそれぞれ次のように書ける。
\( \displaystyle \vec{OG}=\frac{\vec{OO}+\vec{OA}+\vec{OB}}{3}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} \\
\displaystyle \vec{OI}=\frac{13\vec{OO}+15\vec{OA}+14\vec{OB}}{13+15+14}=\frac{15}{42}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} \)
よって\(\displaystyle \vec{OI}-\vec{OG}=\frac{1}{42}\vec{a} \)であり，\( |\vec{a}|=14 \)だから\( \displaystyle IG=\frac{1}{3} \)
なお\( \vec{OI} \)がなぜこの式で表されるかわからない人のために説明すると内心は角の二等分線の交点であり，角の二等分線と辺の交点は辺の比に内分すること，メネラウスの定理を使うと得られます。他の性質など詳しく知りたい方は三角形の五心の性質まとめをご覧ください。
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