今週の問題 問58 答え

上野竜生です。問58の答えを発表します。

問58

3以上の自然数nに対して
(n2-1)(n2-4)
は平方数ではないことを示せ。

答え

3以上の自然数nに対して
(n2-3)2 < (n2-1)(n2-4) < (n2-2)2 …(*)を示す。
展開すると
n4-6n2+9 < n4-5n2+4 < n4-4n2+4
左側の不等式はn2-5>0となるがn≧3より成立
右側の不等式はn2>0となるから成立。
よって(*)は成立。
(*)の両側は連続する2整数の平方なのでこの間には平方数は存在しない。
よって(n2-1)(n2-4)は平方数ではない。

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