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上野竜生です。問57の答えを発表します。

問57 

集合U={a,b,c,d,e}がある。
Uから異なる部分集合を11個とりそれらをB1,B2,・・・,B11とする。
このとき必ずBi⊂Bjとなるようなi,j(i≠j)が存在することを示せ。

 

答え

Uの部分集合は32個ある。それらをグループ1から10に分類する。
グループ1: {} ⊂ {a} ⊂ {a,b} ⊂ {a,b,c} ⊂ {a,b,c,d} ⊂ {a,b,c,d,e}
グループ2: {b} ⊂ {b,c} ⊂ {b,c,d} ⊂ {b,c,d,e}
グループ3: {c} ⊂ {c,d} ⊂ {c,d,e} ⊂ {c,d,e,a}
グループ4: {d} ⊂ {d,e} ⊂ {d,e,a} ⊂ {d,e,a,b}
グループ5: {e} ⊂ {e,a} ⊂ {e,a,b} ⊂ {e,a,b,c}
グループ6: {a,c} ⊂ {a,c,e}
グループ7: {a,d} ⊂ {a,c,d}
グループ8: {b,d} ⊂ {a,b,d}
グループ9: {b,e} ⊂ {b,d,e}
グループ10: {c,e} ⊂ {b,c,e}

Uから異なる11個の部分集合をとると鳩ノ巣原理(部屋割り論法)より少なくとも1グループについて同じグループから2つ以上の部分集合が選ばれる。
その中から2つの集合Bi,Bjを選ぶとBi⊂BjまたはBj⊂Biのどちらかが成立する。
Bj⊂Biならばiとjをひっくり返すことによりBi⊂Bjにできるのでこれで題意は成立。

 

正解者 0名

 

 

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