上野竜生です。問104の答えを発表します。

問104

[数学オリンピック]
実数a,b,c,d,eが次の連立方程式を満たすときaの値として考えられるものをすべて求めよ。
ab+ac+ad+ae=-1
ba+bc+bd+be=-1
ca+cb+cd+ce=-1
da+db+dc+de=-1
ea+eb+ec+ed=-1

 

答え

a+b+c+d+e=Sとおくと
a(S-a)=-1,b(S-b)=-1,c(S-c)=-1,d(S-d)=-1,e(S-e)=-1
a,b,c,d,eは2次方程式
x2-Sx-1=0の解。
解をα,βとするとαβ=-1
\(\beta=-\frac{1}{\alpha} \)
a,b,c,d,eの可能性は次のどれか(またはその入れ替え)
①a=b=c=d=e
②a=b=c=d,e=\(-\frac{1}{a}\)
③a=b=c,d=e=\(-\frac{1}{a} \)
①のとき4a2=-1より不適。
②のとき問題文の5番目の式より
e(a+b+c+d)=4ae=-4=-1となり不適。
③のとき1番目の式より
a2+a2-1-1=-1
よって\(\displaystyle a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
以上より
\( \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},-\sqrt{2},-\sqrt{2} \right) , \left( -\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2},\sqrt{2} \right) \)
またはこれらの並べ替えである。
よって並べ替えも考えるとaの可能性としてあるのは
\(\displaystyle a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} , \pm \sqrt{2} \)

 

 

 

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