今週の問題　問105　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問105の答えを発表します。

問105　★

[14 摂南大]
$ \displaystyle x\geq 0 , y \geq 0 , x+y=\frac{2}{3} \pi $とする。
$\displaystyle \frac{\sin{y}+\cos{y}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{\sqrt{3}}{3} $を満たすとき
xの値を求めよ。

答え

$\displaystyle \sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4}) }$などに注意して整理すると
$ \sin{(x+\frac{\pi}{4})}=\sqrt{3}\sin{(y+\frac{\pi}{4})} $
$ x+\frac{\pi}{4}=A $とする。
$ y=\frac{2}{3}\pi-x $を代入すると
$ y+\frac{\pi}{4}=\frac{11}{12}\pi-x=\frac{7}{6}\pi-A $
$ \sin{A}=\sqrt{3}\sin{(\frac{7}{6}\pi-A)}=-\sqrt{3}\sin{(A-\frac{7}{6}\pi)} $
$ \sin{A}=-\sqrt{3}(\sin{A}\cos{\frac{7}{6}\pi} -\cos{A}\sin{\frac{7}{6}\pi})=\frac{3}{2}\sin{A}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{A} $
移項すると
$\frac{1}{2}\sin{A}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{A}=0 $
合成すると
$ \sin{(A-\frac{\pi}{3})}=0 $
$ 0\leq x \leq \frac{2}{3}\pi $より$ \frac{\pi}{4} \leq A \leq \frac{11}{12} \pi $だから
$ A=\frac{\pi}{3} $
∴$ x=\frac{1}{12}\pi $

正解者　0名

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