一般の方程式の実数解の個数(定数分離)

上野竜生です。一般の場合に実数解の個数を求める問題で,特に定数分離でできるものを取り扱います。

定数分離(一般の場合)

基本は3次方程式の解の個数の記事をご覧ください。

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例題

3次方程式x3-3(a+3)x2+36ax-72a=0の相異なる実数解の個数を定数aの値によって場合分けせよ。

前回の記事では極大・極小値と0の大小関係を比較し,グラフをイメージすることで何とか数IIの範囲で解きました。今回はこのような場合でも無理やり定数分離で解きます。

<定数分離で解く方法>
1. 右辺が場合分けしたい文字になるように変形
2. 左辺を微分してグラフをかく
3. y=(左辺)と直線y=(場合分けしたい文字)の交点の数を答える。

答え(手順1 右辺をaにする)
与えられた式を変形すると
\( \displaystyle \frac{x^3-9x^2}{3x^2-36x+72}=a \)
この左辺をf(x)とおく。
(手順2 微分してグラフをかく)
定義域は分母≠0つまり\( 3(x^2-12x+24)\neq 0 \)
これを解くと\( x\neq 6\pm 2\sqrt{3} \)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{(3x^2-18x)(3x^2-36x+72)-(x^3-9x^2)(6x-36)}{(3x^2-36x+72)^2}\\
=\displaystyle \frac{(x-6)(9x^3-108x^2+216x-6x^3+54x^2)}{(3x^2-36x+72)^2}\)
分子は\( (x-6)(3x^3-54x^2+216x)=3x(x-6)(x^2-18x+72)=3x(x-6)^2(x-12) \)なので
\(\displaystyle f'(x)=\frac{3x(x-6)^2(x-12)}{(3x^2-36x+72)^2}\)
よって増減表は下の通り。
\(\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x &  & -\infty & \cdots & 0 & \cdots & 6-2\sqrt{3} & \cdots & 6 & \cdots & 6+2\sqrt{3} & \cdots & 12 & \cdots & \infty \\ \hline f’(x) & & & + & 0 & – & – & – & 0 & – & – & – & 0 & + & \\ \hline f(x) & & -\infty & \nearrow & 0 & \searrow & × & \searrow & & \searrow & × & \searrow & 6 & \nearrow & \infty \end{array}\)
y=f(x)のグラフは下のようになる。
定数分離のグラフ
(手順3 y=f(x)とy=aの交点の数を答える)
よってy=f(x)と直線y=aの交点の数が求める個数なので答えは
0<a<6のとき1個 , a=0,6のとき2個
a<0 , a>6のとき3個
 計算量は多いかもしれませんがかなりいろんな場合に使えますのでこの解法は絶対習得しなければなりません。練習しておきましょう。

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