定積分の不等式の証明

上野竜生です。定積分の値を具体的に求めるのではなく「○以上であることを証明せよ」といった出題もあります。このタイプはアイデアはわかりやすいですが具体的にどうするかは非常に難しく経験も必要です。

定積分の不等式の証明

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アイデア

基本は
\(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)ならば
\(\displaystyle \int_a^b g(x)dx < \int_a^b f(x)dx < \int_a^b h(x)dx \)であることを使います。(なおg(x)=f(x)やf(x)=h(x)は常には成り立たないものとする。常に成り立つときは当然積分しても等しくなります)

最初から挟まれた式が積分の形で書かれていれば簡単ですが計算した値で問題に与えられていることが多く、どの関数で挟めばいいか考えるのが難しいです。

例題1

(1) \(0\leq x \leq \frac{\pi}{2}\)のとき、\(\frac{2}{\pi}x \leq \sin{x} \leq x \)であることを証明せよ。
(2) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}(1-\cos{1})<\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{(\sin{x})}dx < 1\)を示せ。
(1)は今回のポイントではありませんが(2)のヒントとなっています。これをどう使って(2)の式にしていくのかを見ていきましょう。
答え(1) \(f(x)=x-\sin{x}\geq 0 \)を示す。
\(f'(x)=1-\cos{x}\geq 0 \)なのでf(x)は単調増加。
f(0)=0よりf(x)≧0
\(g(x)=\sin{x}-\frac{2}{\pi}x \geq 0\)を示す。
\(g'(x)=\cos{x}-\frac{2}{\pi} \)
よって\(\cos{\alpha}=\frac{2}{\pi} (0<\alpha<\frac{\pi}{2})\)を満たすαをとるとy=g(x)の増減表は下の通り。
\(\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline g’(x) &  & + & 0 & – &  \\ \hline g(x) & 0 & \nearrow &  & \searrow & 0 \end{array}\)
よってg(x)≧0となり(1)は成立。
(2) (1)より\(\displaystyle \sin{(\frac{2}{\pi}x)} \leq \sin{(\sin{x})} \leq \sin{x} \)
(等号は常には成り立たない)
これを0から\(\frac{\pi}{2}\)で積分すると
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{(\frac{2}{\pi}x)} dx < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{(\sin{x})} dx < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} dx \)
ここで\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} dx = [-\cos{x}]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\),
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{(\frac{2}{\pi}x)}dx = \left[ -\frac{\pi}{2}\cos{(\frac{2}{\pi}x)} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} =-\frac{\pi}{2}\cos{1}+\frac{\pi}{2} \)なので
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}(1-\cos{1})<\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{(\sin{x})}dx < 1\)

ちなみに(1)の不等式から\(\displaystyle \frac{2}{\pi}\sin{x} \leq \sin{(\sin{x})}\)も得られますがこの左辺を積分すると
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi}\sin{x} dx = \left[- \frac{2}{\pi}\cos{x} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi} \)
となりうまくいきません。実際に計算してみるまでうまくいくかはわからないのです。

例題2 挟む関数の誘導がない

\(\displaystyle \frac{\pi}{4} < \int_0^1 \sqrt{1-x^3}dx <1 \)を示せ。

単純に\(g(x)\leq \sqrt{1-x^3} \leq h(x)\)となる関数を見つけるだけでなくそれぞれが高校範囲で積分できてしかも問題で与えられた値までの範囲になるような関数を見つけなくてはなりません。
基本的に問題で与えた関数と全然違う関数を自分で見つけることはありません。近い関数か非常に簡単な関数で挟みます。

右側は比較的簡単で0から1までの積分で1まで許容されているので被積分関数は1で挟めば良さそうです。
左側が少し難しいですがπが出ていることから三角関数の積分の何かかな?と思うのも手です。
\(\sqrt{1-x^2}\)なら積分できる!という感じでなるべく似ている関数で積分した経験のあるもので挟みましょう。
もちろん確実にこれでできる保証はなく、やってみるまでわからないのですが、試験に出る不等式は大体これでできます。

答え\(\displaystyle \sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{1-x^3} \leq 1\)・・・①より0から1まで積分する
\(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx < \int_0^1 \sqrt{1-x^3}dx < \int_0^1 dx=1 \)
(∵①の等号は常には成り立たない)

\(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx\)は単位円の第1象限の部分の面積なので\(\frac{\pi}{4} \)
よって題意は成立。

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