単位円に内接する正n角形の1つの頂点から他の頂点にひいた線分の積

上野竜生です。今回は複素数平面の応用として半径1の円に内接する正n角形の1つの頂点から他の頂点にひいた(n-1)本の線分の長さの積を求めます。

対角線の長さの積

まずは事実を述べます。

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主張

主張説明図
半径1の円の円周上にn個の点A0,A1,A2,・・・An-1を,多角形A0A1A2・・・An-1が正n角形になるようにとる。また1≦k≦n-1に対し,ℓkを線分A0Akの長さとする。
このとき積ℓ12・・・ℓn-1=nである。

すごい結果ですね。これを証明します。

n=3,4,6のときの具体例

証明

半径1の円を単位円とし,複素数平面において点Akが表す複素数を
\(\displaystyle  \alpha_k=\cos{\frac{2\pi k}{n}}+i\sin{\frac{2\pi k}{n}}\)として良い。(\(\alpha_0=1\)に注意)

このとき\( l_k=|\alpha_0 – \alpha_k| =|1-\alpha_k | \)

ここで

\( x^n-1=(x-\alpha_0)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_{n-1}) \)

と因数分解できることを利用する。両辺を(x-1)で割ると

\( x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x^2+x+1=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots (x-\alpha_{n-1}) \)

となる。これにx=1を代入すると

\( n=(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)\cdots (1-\alpha_{n-1}) \)

よって
\( l_1 l_2 \cdots l_{n-1} \\
=|1-\alpha_1| |1-\alpha_2| \cdots |1-\alpha_{n-1}|\\
=|(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)\cdots (1-\alpha_{n-1})|\\=|n|=n \)

となり証明完了。

すごく美しい結果になりましたね。入試ではあまり出ないかもしれませんが数学書でたまに扱われます。大学で数学系に行く人は知っておくべき事実でしょう。

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