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上野竜生です。今回はロピタルの定理を紹介します。結論部分は簡単なので暗記が楽ですが適用条件は複雑で、記述式で使う場合は適用条件もしっかり理解しておかなくてはいけません。答えのみや検算に使うならいくらでも使える便利な定理です。
ロピタルの定理
ロピタルの定理とは次のような定理です。ただし最初の前提条件などが複雑でそこが重要なので他のやり方で解ける場合はそのやり方で解き検算に使う，あるいはどうしても他のやり方でできなかった場合に使う程度にしておきましょう。なお数検１級１次のような答えのみの場合は積極的に使いましょう。
\( \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{g(x)}{f(x)} \)を求めるとき\( \displaystyle \frac{g(a)}{f(a)} \)が不定形で\(\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{g'(x)}{f'(x)} \)が収束するなら
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x \to a} \frac{g'(x)}{f'(x)} \)
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x \to a} \frac{g'(x)}{f'(x)} \)
aは定数以外にも∞などでもOKです。不定形とは0/0や ∞/∞など単に値を代入するだけでは極限がわからない形のものです。単に値を代入すれば値が定まる場合，ロピタルの定理を使うと誤った値が導かれます。そういった点もあり記述式では使いにくい定理です。
例題 \( \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}-1}{x-\frac{\pi}{2}} \)
\(t=x-\frac{\pi}{2} \)と置く解法や微分係数の定義のやり方が思いつけばそちらを書くべきです。思いつかなかった場合，次のような解答でごまかすことになります。
答え\( \displaystyle \frac{\sin{\frac{\pi}{2}}-1}{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}=\frac{0}{0} \)は不定形。
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(\sin{x}-1)'}{(x-\frac{\pi}{2})'}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{1}=0\)は収束するからロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{1}=0 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(\sin{x}-1)'}{(x-\frac{\pi}{2})'}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{1}=0\)は収束するからロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{1}=0 \)
記述方法はかなりクセのある定理ですが結果を知りたいだけなら簡単に使えますね。
ロピタルの定理は応用すれば一見使えなさそうな形でも使えたりします。下に練習問題をおいてみましたので挑戦してみてください。
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＜練習問題＞
結果のみ合っていればいいのでロピタルの定理はご自由にお使いください。もちろんロピタルの定理以外の解法もOKです。
Q1
0
1
-1
収束しない
正解です ！
間違っています ！
Q2
0
-1
1
収束しない
正解です ！
間違っています ！
Q3
0
2分の1
1
収束しない
正解です ！
間違っています ！
Q4
0
1
e
収束しない
正解です ！
間違っています ！
Q5
0
-1
-e
収束しない
正解です ！
間違っています ！
Q6
0
1
2
4
収束しない
正解です ！
間違っています ！
Q7
0
1
eの2乗
収束しない
正解です ！
間違っています ！
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ロピタルの定理クイズ
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