空間の方程式の基本

上野竜生です。空間の方程式の基本を理解するときはベクトル方程式を理解していると楽です。ここでは前のベクトル方程式で一般論を述べたのでそれの具体例を主にやっていきます。

空間の方程式

空間なので(x,y,z)座標まで3変数あります。

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直線の式

ベクトル方程式でも書いたように通常は2つの等号で結ばれた形になります。

例:2点(1,2,3),(3,5,9)を通る直線の式は3x-3=2y-4=z-3
導出過程はこちらの記事を参照

(1,2,3)を通りy軸に平行な直線の式はx=1,z=3

平面の式

点A(s,t,u)を通りベクトルn=(a,b,c)に垂直な直線上の点P(x,y,z)のベクトル方程式は
\( \vec{n}\cdot \vec{AP}=0 \)

成分で書くとa(x-s)+b(y-t)+c(z-u)=0

ax+by+cz-(as+bt+cu)=0

-(as+bt+cu)=dと置くとax+by+cz+d=0

一般に平面の式はax+by+cz+d=0と書ける。

なので困ったらこの形からスタートすれば良い。

点と平面の距離の公式

点(X,Y,Z)と平面ax+by+cz+d=0の距離は

$$ \frac{|aX+bY+cZ+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$

平面のときの「点と直線の距離の公式」とほぼ同じなので覚えやすいですし,公式を覚えず毎回計算すると大変なので覚えておきましょう。

球面の式

球面の式は基本的に中心(a,b,c),半径rの球面の式(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2に変形して考えます。

例題

球面C:x2+y2+z2-2x+4y-6z+12=0と3点A(1,3,1),B(6,-2,0),C(0,0,-2)を通る平面Dを考える。
(1) 球面Cの中心の座標と半径を求めよ。
(2) 平面Dの方程式を求めよ。
(3) 点Pは球面C上を動き,点Qは平面D上を動くとき,PQの長さの最小値はいくらか

答え(1) Cの式を変形すると

(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=2より中心(1,-2,3) 半径\( \sqrt{2} \)

(2) 平面の式はax+by+cz=dなので3点の座標を代入すると

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a+3b+c=d\\ 6a-2b=d \\ -2c=d\end{array} \right.\end{eqnarray} \)

これを解くと\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{3}{10}d \\ b=\frac{2}{5}d\\ c=-\frac{d}{2} \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

よって\( \frac{3}{10}dx+\frac{2}{5}dy-\frac{1}{2}dz=d \)

係数を整数に直すと答えは3x+4y-5z=10

(3) PQの最小値はCの中心と平面の距離からCの半径を引いたもの

中心(1,-2,3)と平面3x+4y-5z-10=0の距離は

\( \displaystyle \frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+(-5)\cdot 3+(-10)|}{\sqrt{3^2+4^2+(-5)^2}}=\frac{|-30|}{5\sqrt{2}}=3\sqrt{2} \)

よってPQの最小値は\( 3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2} \)

(2)で未知数が4つに対し式は3本なのでどうしても1変数残ります。方程式は両辺に同じ数をかけても一緒なので最後にd(≠0)で割ってdを消去しています。分数のままでもいいですがきれいに整数になるように両辺を10倍しました。

(3)赤い部分が重要です。理解できない人は図をかいてみましょう。

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