パップス・ギュルダンの定理(回転体の体積の裏技)

上野竜生です。回転体の体積を求める方法の裏技,パップスギュルダンの定理を紹介します。検算に使う程度にし,できる限り記述の試験では使わないようにします。

パップスギュルダンの定理(回転体の裏技)

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パップスギュルダンの定理

回転体の体積=回転させる面積×重心の移動距離

一般的な図形の「重心」が高校範囲で定義されていないので一般の証明はできません。ですがある程度「重心」がわかる図形もあると思います。そういう図形にのみ有効な公式です。

重心がわかる代表例

長方形 →回転体は円柱なのでそもそもこの公式の出番ではない

これに限らず三角形などもそもそも回転体が円錐の一部とかですからあまりこの公式は嬉しくないと思います。

   →この公式が大活躍(例1)

対称な図形→この公式が使えます(例2)

というわけで入試頻出な例を2つ(特に例1)紹介します。

例1 円の回転

円の「重心」は当然中心です。

例 円x2+(y-a)2=r2をx軸を中心に1回転させてできる立体の体積は?(ただしa>rとする)

a>rの条件がないと回転軸が円と重なってしまい,重心が中心でなくなります。

まずはパップスギュルダンの定理を使わない解法で求めます。

答え円の方程式をyについて解くと
\( \displaystyle y=a \pm \sqrt{r^2-x^2} \)
よって\( y_{\pm}=a \pm \sqrt{r^2-x^2} \)と定義する。(復号同順)
y+-の定義
求める回転体の体積は
\( \displaystyle \pi \int_{-r}^r y_{+}^2 – y_{-}^2 dx\\
=\displaystyle \pi \int_{-r}^r (a+\sqrt{r^2-x^2})^2-(a-\sqrt{r^2-x^2})^2 dx
\\
=\displaystyle \pi \int_{-r}^r 4a\sqrt{r^2-x^2} dx \\
=\displaystyle 4\pi a \cdot (\frac{1}{2}\pi r^2) = 2\pi^2 a r^2 \)

最後の積分は半径rの円の面積の半分であることを利用しています。

次にパップスギュルダンの定理で確認しましょう。

円の面積はπr2,円の重心(0,a)の移動距離は2πaなので体積は2π2ar2

となり一致しました。

例2 対称な図形

放物線y=x(x-2)とx軸で囲まれる部分を,y軸まわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

まずは普通に解答します。
x+-の定義

答えy=x(x-2)=x2-2x=(x-1)2-1より頂点は(1,-1)
この放物線の式(x2-2x-y=0)をxについて解くと
\( x=1\pm \sqrt{1+y} \)
\( x_{\pm} = 1\pm \sqrt{1+y} \)と定義すると求める体積は
\( \displaystyle \pi \int_{-1}^0 x_{+}^2 – x_{-}^2 dy \\
=\displaystyle \pi \int_{-1}^0 (1+\sqrt{1+y})^2-(1-\sqrt{1+y})^2 dy \\
=\displaystyle \pi \int_{-1}^0 4\sqrt{1+y} dy \\
=\displaystyle \pi \left[\frac{8}{3}(1+y)^{\frac{3}{2}}\right]_{-1}^0 \\
=\displaystyle \frac{8}{3} \pi \)

またはバウムクーヘン積分(回転させる図形の上側の曲線:x軸-下側の曲線:y=x(x-2)なので積分するものは2x-x2であることに注意)で求めると

\( \displaystyle 2\pi \int_0^2 x \cdot( 2x-x^2) dx = 2\pi \left[\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4\right]_0^2=2\pi \left(\frac{16}{3}-4 \right)=\frac{8}{3} \pi \)

でもOKですが,これをパップスギュルダンの定理で計算します。

回転させる図形の面積は1/6公式より \( \displaystyle \frac{2^3}{6}=\frac{4}{3} \)

「重心」の座標は正確にはわかりませんが対称性よりx=1上のどこかであることはわかりますので重心のy座標がわからなくても重心の移動距離は2πとわかります。

よってかけ算すると\( \displaystyle \frac{8}{3} \pi \)となり一致しました。

同様の考えはy=sinxなどにも応用できますね。

証明が簡単ではないのであまり記述式には使えませんが答えを出すだけなら非常に有効な定理です。

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