無理数であることの証明

上野竜生です。数学でよくある無理数の証明方法についてまとめてみました。基本的に直接は示せないので背理法(有理数と仮定して矛盾を導く)を使います。

無理数であることの証明

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有理数・無理数とは?

整数a,bを用いてa/b(分数)の形に書けるものを有理数,書けない実数を無理数といいます。よくある間違いとして3分の1が0.33333・・・と割り切れないから無理数だという人がいますが正しくは分数の形でかけるので有理数です。

√2が無理数であることの証明

その1

√2が有理数であると仮定する。つまり\( \sqrt{2}=\frac{n}{m} \)と書けるとする。

整理すると2m2=n2

左辺は2で奇数回割り切れるが,右辺は2で偶数回割り切れる。

よって両辺が等しいことに矛盾。背理法より√2は無理数

私はこの方法のほうが好きです。ポイントは2で割り切れる回数に着目することですが,必ずしも左辺が1回,右辺が0回とは限らないことに注意してください。mが2でk回割り切れるならばm2は2で2k回割り切れるので偶数回割り切れます。

その2

√2が有理数であると仮定する。互いに素(最大公約数が1である)な整数m,nを用いて\( \sqrt{2}=\frac{n}{m} \)と書けるとする。

整理すると2m2=n2

左辺は偶数だからnは偶数である。よってn=2kとかける。すると

2m2=4k2となりm2=2k2である。よって右辺が偶数だから左辺も偶数で,mは偶数である。

mとnが両方偶数であることはm,nが互いに素であることに矛盾

よって√2は無理数である。

私自身も初見ではm,nが偶数を示したあと,
「m=2lとおける。するとk=2sとおける。すると・・・」のような無限ループになりました。そうではなくnとmが2の倍数を言った時点で矛盾が出ていることに気づくことが重要です。

log102が無理数であることの証明

log102が有理数であると仮定する。log102>0より自然数n,mを用いて

\( \log_{10}{2}=\frac{n}{m} \)とおける。

整理すると\( 2=10^{\frac{n}{m}} \)

両辺m乗すると2m=10n

右辺は5で割り切れるが左辺は5で割り切れない。よって矛盾

背理法よりlog102は無理数である。

意外に重要なのがm>0,n>0の条件です。m,nがマイナスの可能性まで考えると結構大変ですが明らかに正なのでこの一言は重要です。
また両辺をm乗するという記述をうっかり「m倍」などとしないようにしましょう。

あとは数字が違うだけや3乗根など,同様にできるものがほとんどです。ごくまれに誘導がついてπやeが無理数であることを示す問題が出ますが長くなるのでここでは割愛します。

基本方針は有理数と仮定して矛盾を導く。そのことは覚えておきましょう。

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