平面束・kによらず通る定直線｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。今回は平面束に関する問題を扱います。数IIで２つの円の交点を通る直線を求める時にf(x,y)+kg(x,y)と表したあの感覚を平面でもやるだけです。

ポイント

2つの平面f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0の交点（交線）を含む平面の式は
f(x,y,z)+k g(x,y,z)=0
と書ける。これを使うと解きやすい問題もあります。

例題１　kに関係なく通る直線の式

平面(k+1)x+2ky-5z=3k+4は定数kの値に関係なくある直線を含む。その直線の方程式を求めよ。

答えkについて整理すると
k(x+2y-3)+(x-5z-4)=0
これがkについての恒等式だから
x+2y-3=0
x-5z-4=0
よって求める直線の方程式はx=3-2y=5z+4

例題２　2平面の交線を通る平面を求める

2平面「2x+y+3z=7」「x-4y+5z=6」の交わる直線を含む平面のうちx軸に平行なものを求めよ。

答え2平面の交線を含む平面の式は実数kを用いて
(2x+y+3z-7)+k(x-4y+5z-6)=0
とかける。左辺をx,y,zで整理すると
(k+2)x+(1-4k)y+(3+5k)z-(7+6k)=0
よってこの平面の法線ベクトルは
(k+2 , 1-4k , 3+5k)
x軸に平行な平面の法線ベクトルは(1,0,0)と垂直に交わるから
1・(k+2)　＋　0・(1-4k)　＋　0・(3+5k)
=k+2=0
∴k=-2
これを代入すると
(2x+y+3z-7)-2(x-4y+5z-6)=0
9y-7z+5=0
求める平面の方程式は9y-7z+5=0

やってることは数IIと同じですが法線ベクトルの考えを使ったりするのと融合しているので一度練習しておいた方がいいでしょう。国公立ではあまり出題されていないですが私立では見かけます。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

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