球の接平面の方程式の求め方

上野竜生です。今回は球の接平面の公式の導出と具体例を扱います。公式はキレイな形をしていますが，利用頻度は高くないので毎回導出することをオススメします。

球の接平面の式

中心をA(a,b,c)とする半径rの球がある。この球上のH(s,t,u)における接平面の方程式を求めたい。接平面上の点をP(x,y,z)とおく。x,y,zの関係式を求めればよい。

＜考え１＞

AH⊥PHであることを利用する
\(\vec{AH} \cdot \vec{PH}=0 \)だから接平面の公式は
(s-a)(x-s)+(t-b)(y-t)+(u-c)(z-u)=0

＜考え２＞

∠PHA=90°ということは\(\vec{AH},\vec{AP}\)のなす角をθとすると
\( |\vec{AP}| \cos{\theta} = |\vec{AH}| =r \)
となるから
\( \vec{AH}\cdot \vec{AP}=r^2 \)となる。

これを利用すると接平面の公式は
(s-a)(x-a)+(t-b)(y-b)+(u-c)(z-c)=r²
となる。

＜考え１＞と＜考え２＞が同じ式であることを示す。

＜考え１＞の結果より
(s-a)x+(t-b)y+(u-c)z= s(s-a)+t(t-b)+u(u-c)
＜考え２＞の結果より
(s-a)x+(t-b)y+(u-c)z=r² +a(s-a)+b(t-b)+c(u-c)
なので右辺が等しいことを示せばよい。
{r² +a(s-a)+b(t-b)+c(u-c)}-{s(s-a)+t(t-b)+u(u-c)}
=r² - {(s-a)²+(t-b)²+(u-c)²}
=0　（∵Hは球上の点）
なので同じ式である。

どちらでも計算はできるのですが右辺が微妙に違うので暗記しようとすると必ずゴチャゴチャになります。なのでこのタイプの問題は毎回＜考え１＞で導出することをオススメします。

例題

球の公式として覚えるとAの座標とHの座標を反対にしてしまうミスが多発します。（∵球の接平面の公式を使うことがほとんどないので忘れてしまう）
暗記するときは正確に暗記する必要がありますが毎回導出だとミスが減らせますね。